定积分教案2014.2.doc

第5章 积分的概念及计算 5.1 定积分的概念与性质 5.1.1两个引例 1．曲边梯形的面积 曲边梯形定义：由直线及曲线所围成的图形称为曲边梯形。 求曲边梯形的面积方法： （1）分割 任取分点，把区间分成个子区间 ，子区间长度为。 （2）近似 在子区间上任取一点，则小曲边梯形面积可近似表示为。 （3）求和 将个小曲边梯形近似面积相加，则曲边梯形面积的近似为。 （4）极限 令， 则。 2．变速直线运动的路程 设物体作直线运动，速度，求这段时间内物体所经过的路程S。 求路程方法： （1）分割 任取分点，把区间分成个子区间 ，子区间长度为。 （2）近似 在子区间中可看做匀速直线运动，则在其上任取一点，则在子区间中路程可表示为。 （3）求和 将个子区间路程相加，则总路程可近似为。 （4）极限 当时，令，则。 5.1.2定积分定义 1.定义：设函数在区间上有界，在中任意插入若干个分点 将区间分成子小区间，各子区间的长度为，在每个子区间上任取一个点，作的和式， 令 当时上式极限存在，则称这个极限为函数在区间上的定积分，记作 其中为被积函数，为被积表达式，为积分变量，为积分下限，为积分上限。 说明：（1）由定积分的定义可知：曲边梯形的面积为 变速直线运动的路程为 （2）定积分的值只与被积函数及积分区间有关，与区间分法和任取函数值无关，与积分变量的字母选择无关，即 （3）当时， 2.定理 定理1：设在区间上连续，则在上可积。 定理2：设在区间上有界，且只存在有限个第一类间断点，则在上可积。 3.几何意义 若，则；若，则 若在区间上有正有负，则积分值等于在轴上方部分与下方部分面积差。 例：利用定义计算定积分 解：几何上此定积分表示半径为1的圆第一象限的面积 因此 5.1.3定积分的性质 性质1： 性质2： 性质3： 注：不论在内或外等式均成立 性质4：如果在区间上，则 性质5：如果在区间上，则 性质6：若函数在区间上的最大值及最小值，则 5.2 不定积分的概念及性质 教学过程 5.2.1、导入新课 前面我们已经研究了一元函数的微分学，而在实际问题中，往往会遇到相反的问题。比如：已知某质点以速度作变速直线运动，求该质点的运动方程；又如：已知一过原点的平面曲线上任一点处的切线斜率为，求该曲线的方程。这两个问题都可归结为同一类问题——已知某一个函数，求函数，使.象这样的问题就是积分学所要研究的基本问题. 本章主要讲述不定积分的概念、性质及其基本积分方法. 5.2.2、讲授新课 （一）不定积分的概念 1、原函数的概念 定义1 设f (x)是定义在某区间的已知函数，若存在函数F(x)，使得 F’(x) = f (x) 或d F(x) = f (x)dx , 则称F(x)为f (x) 的一个原函数. 例如’=故lnx是的一个原函数；是2x的一个原函数，但(+1)’=(+2)’=…=2x所以的原函数不是唯一的。 关于原函数的几点说明： 1、如果f (x)在某区间连续，那么它的原函数一定存在。 2、原函数的统一表达式有如下结论： 定理 若F(x)是f (x)的一个原函数，则F(x)+ C是f (x)的全部原函数，其中C为任意常数 2、不定积分的概念 定义2 函数f (x)的全体原函数叫做f (x)的不定积分，记为 = F(x)+ C，其中 F/(x) = f (x)， 例1 求下列不定积分 （1）； （2）。 解：（1）因为 = ，所以=+C （2）因为x0时, = , 又x0时, ’==, 所以 =ln|x |+ C . 例2 设曲线过点（1，2）且斜率为2x，求曲线方程。 解 设所求曲线方程为y=y(x). 按题意有: =2x , 故y = =+C . 又因为曲线过点（1，2），故代入上式 2=1+C ,于是所求方程为y=+1. 例3 设某物体以速度作直线运动，且当时，求运动规律。 解： 按题意有，即，再将条件时代入得故所求运动规律为。 由积分定义知，积分运算与微分运算之间有如下的互逆关系： （1）或； （2）或 对这两个式子，要记熟、记准. （二）基本积分公式 ⑴（为常数）， ⑵， ⑶， ⑷， ⑸， ⑹， ⑺， ⑻， ⑼， ⑽ ⑾, ⑿， ⒀， （三）不定积分的性质 性质1 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即 ( k≠0) 性质2 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即 . 例4 求下列不定积分： （1）； （2） 。 解 （1）= = ； （2）= 例5 求下列不定积分：