多元函数积分学1_几何形体上积分的概念.pptVIP

多元函数积分学 主 要 内 容 几何形体上积分的概念 二重积分的计算法 三重积分的计算法 对弧长的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲线积分 对坐标的曲面积分 各种积分的相互关系 第一节 几何形体上积分的概念 定积分定义 几何形体上积分的定义 当G为不同的几何形体时，对应的积分都给出固定的名称和符号： 几何形体上积分的存在定理: 几何形体上积分的性质（以二重积分为例） 例1. 比较下列积分的大小: 例2. 估计下列积分之值 几何形体上积分的物理意义 * * * 平面的有界闭区域; 空间的有界闭区域; 平面和空间的有限光滑(或分段光滑)曲线段; 空间有限光滑(或分片光滑)曲面片. 几何形体: 假定都是可以度量的, 也就是可以求出面积、体积或弧长的, 它们称为几何形体的度量. 几何形体上任何两点间距离的最大值为这个几何形体的直径. 任一种分法 任取 总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数 在区间 上的定积分, 即 此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 . 记作 * 设f(p)是几何形体G上的有界函数. 将G任意分成n个部分，记为 Δgi (i=1,2,…,n，Δgi 也代表该部分的几何度量). 在每个部分上任取一点pi ，作和式 , 如果当各个部分的直径的最大值λ→0时， 和式的极限 存在，则称这个极限为函数f(p)在几何形体G上的积分，记为 * 当G为平面有界闭区域（常记为D）时，称为二重积分，记为 当G为空间有界闭区域（常记为Ω）时，称为三重积分，记为 * 当G为平面有限曲线段（常记为L）或空间有限曲线段（常记为Γ）时，称为对弧长的曲线积分，记为 当G为空间有限曲面片（常记为Σ）时，称为对面积的曲面积分，记为 若函数 定理. 积分 在几何形体G上连续, 则 必定存在. ( k 为常数) 特别, 由于 则 5. 若在D上 6. 设 D 的面积为? , 则有 ? 为D 的面积, 则 一般地有 （如面积，体积，弧长等） 7.(二重积分的中值定理) 证: 由性质6 可知, 由连续函数介值定理, 至少有一点 在闭区域D上 ? 为D 的面积 , 则至少存在一点 使 使 连续, 因此 其中 解: 积分域 D 的边界为圆周 它与 x 轴交于点 (1,0) , 而域 D 位 从而 于直线的上方, 故在 D 上 解: D 的面积为 由于 积分性质 即: 1.96 ? I ? 2 D 如果一个非均匀物体，其形状如上述几何形体G，其密度为G上的函数ρ(p)，则在G上的元素dg上，其质量应是ρ(p)dg，于是该物体的总质量为