复变函数1.1复数.docVIP

§1.1 复 数 复数域 形如: 或 的数,称为复数,其中和是任意的实数, 合于 ,称为虚单位.实数和分别称为复数实部和虚部,常记为: 复数 及相等,是指它们的实部与实部相等,虚部与虚部相等,即 必须且只须 虚部为零复数就可看作实数,即 因此,全体实数是全体复数的一部分.特别, 虚部不为零的复数称为复数;实部为零且虚部不为零的复数称为纯虚数. 复数和称为互为共轭复数,即是共轭复数.复数 的共轭复数常记为.于是 对于这样定义复数,我们必须规定其运算方法.由于实数是复数的特例,规定复数运算的一个基本方法是: 复数运算的法则实行于实数特例时,能够和实数运算的结果相符合,同时也要求复数运算能够 满足实数运算的一般规律. 复数的加(减)法可按实部与实部相加(减),虚部与虚部相加(减).即复数相加(减)的法则是:结果仍是复数.我们称复数是复数与的和, 称复数是复数与的差. 复数的加法遵守交换律与结合律,而且减法是加法的逆运算,这些都很容易验证. 两个复数 及相乘,可按多项式乘法发则进行,只须将结果中的换成,即 结果仍是复数, 我们称它为 与 的积.也易验证,复数的乘法遵守交换律与结合律,且遵守乘法对加法的分配律. 两个复数及相除(除数)时,可先把它写成分式的形式,然后分子分母同乘以分母的共轭复数,再进行简化,即 结果仍是复数. 我们称它为与 的商.这里除法是乘法的逆运算. 全体复数并引进上述运算后就称为复数域.在复数域内,我们熟知的一切代数恒等式,如像: 等等,仍然成立,实数域和负数域都是代数学中所研究的”域”的实例,和实数域不同的是,在复数域中不能规定复数的大小.事实上,有像实数那样的大小关系.由于非零实数的平方大于零,而 则应有 即这是不可能的. 2 复平面 一个复数本质上有一对有序实数唯一确定. 于 是能够建立平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系.换句话说,我们可以借助于横坐标为纵坐标为的点来表示复数(图1.1) 由于轴上的点对应的实数,故轴称为实轴;轴上的非原点的点对应着纯虚数,故轴称为虚轴.这样表示复数 的平面称为复平面或 平面 引进了复平面之后,我们在”数”和”点”之间建立了联系.以后再研究复变函数时常可借助几何直观,还可采用几何术语.这也为复变函数应用于实际提供了条件,丰富了复变函数论的内容.为了方便起见我们不在区分”数”和”点”,”数集”和”点集”,说到”点”可以指它所代表的”数”,说到”数”也可指这个数可代表”点”.例如 ,我们所说”点 ”,”顶点为 的三角形”等等 在复平面上,从原点到点所引的向量与这个复数 也构成一一对应关系(复数0对应着0向量),这种对应关系使复数的加(减)法与向量加(减)法之间保持一致. 例如,设: , ,则 由图1.2可以看出, 所对应的向量,就是 所对应的向量和 所对应的向的和向量. 又如,将表成可以看出, 所对应的向量就是所对应的向量与-所对应的向量的和向量.也就是从 到 的向量 例1.1考虑一条江面上的水在某时刻的流动,假定在江面上取好一坐标系我们把江面上任意一点 的速度 的两个分量记为 与则我们可以把速度向量 写成复数(图1.4) 人们经过长期的摸索与研究发现,对于很多的平面问题(如流体力学与弹性力学中的平面问题等)来说,用复数及复变函数作工具是十分有效的.这正是由于复数可以表示平面向量的缘故. 3.复数的模与辐角 表示复数 的位置,也可以借助点的极坐标和来确定（图1.1）． 上面我们用向量来表示复数，其中顺次等于沿轴与轴的分量．向量的长度称为复数的模或绝对值，以符号或表示，因而有 且的充要条件是． 这里引进的模的概念与对于实数的绝对值的概念是一致的．由于复数的模是非负实数，所以能够比较大小． 根据图1.1我们有不等式 (1.1) 根据图1.2,我们有不等式 （三角形两边之和大于第三边）　　　(1.2) 它称为三角不等式． 此外，根据图1.3,我们还有不等式 . 　（三角形两边之差小于第三边） (1.3) (1.2)及(1.3)中等号成立的几何意义是：复数所表示的两个向量共线且同向． 由图1.3可见，表示点与点的距离，记为: 二复数差的模的这个几何意义是非常重要的．它还可以借助解析几何中两点间的距离公式用解析方法得出： . 实轴正向到非零复数所对应的向量间的夹角合于 称为复数的辐角(Argument)，记为: 我们知道，任一非零复数有无穷多个辐角，今以表其中的一个特定值，并称合条件: