孙国富--不等式.docVIP

2012江苏省高中数学奥林匹克夏令营讲座 不 等 式 江苏省木渎高级中学 孙国富 一、不等式的证明 1. 设，求证：。 2. 已知，求证：。 3.中，求证：。 4. 若且，求证：。 5. （41届）设且。求证：。 6. （2003美国）已知。求证：。 7. （2010四川）设满足，。求证：。 8. （2008北大自主）已知，，若，求证：。 二、不等式的求解 1. 解不等式：。 2. 解不等式：。 3. 解不等式：。 4. 设，解关于的不等式。 5. 设，解关于的不等式：。 6.（2008一试解答2）解不等式．。 8. 解不等式：。 三、不等式的应用 1.（2009一试解答3）求函数的最大和最小值．的不等式的解集是一些区间的并集，且这些区间长度的和不小于4，求实数的取值范围。 3.（2010一试解答1）已知函数（），当时，，试求的最大值． 4.(2009北大自主)已知对任意均有恒成立，求的最大值。 5. 不等式对，恒成立，求实数的取值范围。 6. 正数之和为1，设 求出的最小值，并指出取得最小值时的取值。 7.（2005全国）设正数满足：，，。求函数的最小值。 8. （2002全国）实数和正数，使得有三个实根，且满足①；②。求：的最大值。 四、利用著名不等式解题 1. 已知，求证：。 2. 已知，求证：。 3. 已知且，求证：。 4. 已知，求证：。 5.求证：。 6.设与的边长分别为与，面积分别为。证明： 当且仅当与相似时取等号。 7. 已知，求证：。 8.（2007乌克兰国家集训队）设，且。求证：。 五、和式的变换、递推 1.（2007一试解答1）设，求证：当正整数时，。 求证不等式：，，且，求证：。 4.（2010二试解答3）给定整数，设正实数，，…，满足，，，…，，记，，，…，．求证：． 5.（2011二试解答3）设（）是给定的正实数，。对任意正实数，满足（）的三元数组的个数记作，求证：。 6.求证：（），当且仅当时两个不等式都成立等号。 7.设数列满足，（）。求证：。 8. 给定两数列和，满足 ①，；②（） （1）如果，则；， （2）如果，则。 第 4 页 共 4 页