浅谈生日问题.docVIP

浅谈生日问题 物理实验班12 霍卫光 2009035015 【摘要】通过对生日问题的分析，求解以及对结果的分析，最后得出对随机性数学模型和确定性系统的优劣作出简要分析。 【关键词】 生日问题，古典概率，条件概率 在学习了概率论的初步知识后，我对概率的计算有了比较系统的了解，也时常用概率论的基本思想、基本方法来解释实际生活中的问题。最近在网上看到一些关于生日问题的文章，激起了我的兴趣，所以以此为题，谈一谈我对这个问题的认识。 一．问题的提出 假设有?n?个人在同一房间内，在不考虑特殊因素的前提下，例如闰年、双胞胎，并假设一年365日出生概率是平均分布的，计算有两个人在同一日出生的概率。 二．问题分析 为了计算的方便，我们先计算其对立事件, 即没有两个人生日相同的概率。我们将生日问题抽象化，生日问题实际上是如下的放球问题: 将n个不同编号的球随机放入N( N ≥n) 个盒中, 每个球以相同的概率的被放入盒中, 每盒容纳的球数不限, 求A= 恰有n 个盒中恰有一个球的概率。当N= 365 时，两个问题完全就是一个问题。 思路一：利用古典概率算法 因为每个球落入N个盒中的概率是相同的，所以可以使用古典概率算法来解决此题。 思路二：利用条件概率求解 先计算第一个球落入盒子中不与其它球同盒的概率，再求第二个、第三个，直到第n个，相乘后求它的对立事件的概率即得P（A）。 三．问题求解 1.用古典概率求解 对于任一个球有N种放法, n个球有Nn种放法, 即样本点总数为Nn。若n个球正好占有n个盒子，则共有种排法，即 回到生日问题，令N=365，则可得到房屋内有两个人在同一日出生的概率与房屋内人数的函数关系。 2.用条件概率求解 先计算房间里所有人的生日都不相同的概率，那么第一个人的生日是 365选365，第二个人的生日是 365选364，第三个人的生日是 365选363 ……　第n个人的生日是 365选365-(n-1)。 所以所有人生日都不相同的概率是： 　 那么，n个人中有至少两个人生日相同的概率就是： 　　 四．结果分析 以下是我用 Matlab软件利用条件概率法所做的数值运算的结果： 从结果中可以看出：当n=23的时候，概率为0.507，已经超过50%；当n=57的时候，概率已达到99%。这与我们的生活体验似乎有些不符，因为对于一个50多人的班级，找到一个与自己同一天生的人似乎并不容易。事实上，以上结论是对于整体而言的，对个人，上述结论将不再适用。 五．感悟 回忆抽屉原则, 把一些物件随意放置在365个盒子里，对于必然出现至少有两件东西同在一个盒中这个结果，我们手中至少要有366件物品。这属于确定性数学模型。对于随机数学模型，我们已经看到，当概率为50%的时候，我们只需23件就够了，如果件数超过23，概率就会迅速提高，当物体达到57件时，我们的把握已经是百分之九十九，这几乎是肯定性事情了。为使把握从99 % 提高到100%，确定性模型比随机性模型要多准备309件物品；365÷57≈6.4035，即随机性模型所需物件数仅为确定性模型的1/6。这说明为了绝对准确，人们所花费的物力、人力是巨大的。有时这样的花费既不必要也不可能，因此随机性模型对人类更为实用。 参考文献： 1. 施雨、李耀武 《概率论与数理统计应用》 西安交通大学出版社 2. 王健吾 《从生日在同一天谈起》 《数理统计与管理》 1995 年5 月 14卷3期 3. 林志兴 《概率与直觉》 《数理统计与管理》 2006 年 3 月 第25 卷 第2 期 4. 黄文璋 《纯属巧合_随机思考论_之三》 《中国统计》 1999 一12 · 总第215 期