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第一讲 重叠问题 容斥原理（1） 如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。 容斥原理（2） 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么， A类或B类或C类元素个数 = A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数 —既是A类又是B类的元素个数 —既是A类又是C类的元素个数 —既是B类又是C类的元素个数 +既是A类又是B类而且是C类的元素个数。 例1.瀚博文化培训中心三年级有学生100人，参加体育代表队的有75人，参加文艺代表队的有55人，并且每个人至少参加了一个队，这个班两队都参加的有几个人？ 练习1、三年级共有200名学生.报名参加体育小组的有180人，参加文娱小组的有150人.问体育和文娱两个小组都参加的有多少人？ 例2、某班56人，参加英语竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没参加的有25人，那么同时参加英语、数学两科竞赛的有多少人？ 练习2、有50名运动员，其中有35人会摔跤，有30人会击剑，有20人击剑、摔跤都不会，问既会摔跤又会击剑的运动员有多少人？ 3、五年级有122名学生参加英语、数学考试,每人至少有一门功课取得优秀成绩.其中英语成绩优秀的有65人,数学成绩优秀的有87人.英语、数学成绩都优秀的有多少人? 4.有100名学生，其中有10人既不会手风琴，又不会钢琴，有75人会手风琴，有83人会钢琴.那么这100位学生中既会手风琴又会钢琴的有多少人？ 5、学校文艺组的成员每人至少会演奏一种乐器.已知会拉手风琴的有24人,会弹电子琴的有17人,其中两种乐器都会演奏的有8人,这个文艺组一共有多少人? 6、一个班有50人,班主任问:谁做完了语文作业?请举手!有30人举手,又问:谁做完了数学作业?请举手!有33人举手.最后说:谁语文、数学作业都没有做完?有6人举手,这个班语文、数学作业都做完的有多少人? 7、某班36个同学在一次测验中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人.问多少个同学两题答得都不对? 8、四年三班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。这两队都没有参加的10人。请算一算这个班共有多少人？ 例3. 瀚博学校以奥数、剑桥英语和金笔作文为特色.该校五年级共有245名同学.其中参加奥数班的同学比参加英语班的同学多82人，有44人既参加奥数班，也参加英语班，有63人只参加作文班.那么，瀚博学校五年级的同学英语班的有多少人？ 例4 江枫要制作一架飞机模型，只差如图24-1所示的a的边长,一时求不出来,被难住了,请你帮她计算一下.(单位:厘米)(已知正方形与三角形一部分重叠着,乙三角形面积比甲三角形面积大5平方厘米) 练习9.图中正方形的边长为20厘米，以边长20厘米为半径，相对的两个角顶做圆心，在正方形内画弧，求阴影部分的面积。 10、有77名同学参加数学竞赛，分两张考卷测试。答对A卷者得60分，答对B卷者得40分。已知考完后有50人答对A卷，60人答对B卷，只有2人A、B卷都答错了，这次考试得40分的有多少人？得60分的有多少人？得100分的有多少人？ 11、李老师出了两道题，全班40人中，第1题有30人对，第2题有12人未做对，两题都做对的有20人。问： （1）两题都不对的有几个人？ （2）第2题对、第1题不对的有几个人？ 12、某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余的每人至少有一个项目达到优秀，这部分达到优秀的项目、人数如下表： 13、瀚博学校四年级（3）班参加体育课外活动，第一小队同学排成一列横队，从左往右数.小明是第8人，从右往左数小明是第9人，第一小队有多少名同学参加体育课外活动？ 14、某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生，参加语文竞赛的有120名女生，80名男生，已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都参加了，那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有多少人？ 思考题. 某校举行数学竞赛,共出A,B,C三道题,有110人参加竞赛,每个人都至少答对一道题,已知答对A题的有52人,只答对A题的有16人;答对B题的有61人,只答B题的有15人;答对C题的有63人,只答对C题的有21人,三道题都答对的有多少人? * 分析：参加体育代表队与参加文艺代表队的人数共有75+55=130（人），而总共只有100人，出现这种情况是因为两队都参加的人数被计算了两次，所以，两队都参加的人数为130-100=30（人）。 至少参加一队的有：75+55=130（人） 两队都参加的有：130-100=30（人） 体育和文娱两个小组都参加的有： 180+150-200=13