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第五节 不等式的证明 一、选择题 1．分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的(　　) A．充分条件　　　　　　　　B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．(2008年上海春招卷)若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是(　　) A.＜ B．a2＞b2 C.＞ D．a|c|＞b|c| 3．已知0＜a＜1，b＞1且ab＞1，则下列不等式中成立的是(　　) A．logb＜logab＜loga B．logab＜logb＜loga C．logab＜loga＜logb D．loga＞loga＜logab 4．设a＞1，P＝＋，Q＝＋，则(　　) A．p＜Q　　　B．P≥Q　　　C．P≤Q　　　D．P＞Q 5．设a＞0，b∈R，则一定有(　　) A.＞2b－a B.≥2b－a C.＜2b－a D.≤2b－a 二、填空题 6．在等差数列{an}与等比数列{bn}中，a1＝b1＞0，an＝bn＞0，则am与bm(1＜m＜n)的大小关系是__________． 7．同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高．这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列a1，a2，…，an满足a1≤a2≤…≤an，则__________(结论用数学式子表示)． 8．(2009年全国卷)已知AC、BD是圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，则四边形ABCD的面积的最大值为：________. 三、解答题 9．已知a、b、c∈R，求证：a2＋b2＋c2＋4≥ab＋3b＋2c. 10．设a、b、c均为实数，求证：＋＋≥＋＋. 第五节 不等式的证明 一、选择题 1．分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的(　　) A．充分条件　　　　　　　　B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案：A 2．(2008年上海春招卷)若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是(　　) A.＜ B．a2＞b2 C.＞ D．a|c|＞b|c| 解析：由不等式的性质容易得答案C. 答案：C 3．已知0＜a＜1，b＞1且ab＞1，则下列不等式中成立的是(　　) A．logb＜logab＜loga B．logab＜logb＜loga C．logab＜loga＜logb D．loga＞loga＜logab 答案：B 4．设a＞1，P＝＋，Q＝＋，则(　　) A．p＜Q　　　B．P≥Q　　　C．P≤Q　　　D．P＞Q 解析：P2＝2a＋1＋2，Q2＝2a＋1＋2 ∵a2＋a＞a2＋a－2，∴P2＞Q2，P＞Q，选D. 答案：D 5．设a＞0，b∈R，则一定有(　　) A.＞2b－a B.≥2b－a C.＜2b－a D.≤2b－a 解析：∵＋a≥2 ＝2|b|≥2b，∴≥2b－a.选B. 答案：B 二、填空题 6．在等差数列{an}与等比数列{bn}中，a1＝b1＞0，an＝bn＞0，则am与bm(1＜m＜n)的大小关系是__________． 解析： 若d＝0或q＝1，则am＝bm. 若d≠0，画出an＝a1＋(n－1)d与bn＝b1·qn－1的图象，易知am＞bm，故am≥bm. 答案：am≥bm 7．同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高．这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列a1，a2，…，an满足a1≤a2≤…≤an，则__________(结论用数学式子表示)． 解析：设原有人数为n，去掉高分的n－m个人(1≤m＜n)，则 n个人的平均分为； m个人的平均分为. 同理，去掉同n个人中低分的m个人时， n－m个人的平均分为. 依题意，得≤， ≥. 答案：≤， ≥ 8．(2009年全国卷)已知AC、BD是圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，则四边形ABCD的面积的最大值为：________. 解析：设圆心O到AC、BD的距离为d1、d2，垂足分别为E、F，则四边形OEMF为矩形，则有d＋d＝3. 由平面几何知识知|AC| ＝2，|BD|＝2， ∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD| ＝2·≤(4－d)＋(4－d)＝8－(d＋d) ＝5，即四边形ABCD的面积的最大值为5. 答案：5 三、解答题 9．已知a、b、c∈R，求证：a2＋b2＋c2＋4≥