MATLAB语言在 现代科学运算中的应用.ppt

Slide # (of 42) 薛定宇、陈阳泉著基于MATLAB/Simulink的系统仿真技术与应用(第2版)，清华大学出版社，2010 第3章 MATLAB语言在现代科学运算中的应用 主要内容 解析解与数值解 数值线性代数问题及求解 微积分问题的MATLAB求解 常微分方程的数值解法 非线性方程与最优化问题求解 动态规划及其在路径规划中的应用 数据插值与统计分析 3.1 解析解与数值解 现代科学与工程的进展离不开数学。 数学家们感兴趣的问题和其他科学家、工程技术人员所关注的问题不同 数学家对数学问题的解析解，或称闭式解(closed-form solution)和解的存在性严格证明 工程技术人员对如何求出数学问题的解更关心 能用某种方法获得问题的解则是工程技术人员更关心的问题 最直接方法就是通过数值解法技术 必须使用数值解的场合 (1) 解析解不存在 p不存在解析解 祖冲之，公元480年， 公元前250年(?)阿基米德 近年，精确到60亿位 数值运算取16位有效数字足矣，3.1418也未尝不可 定积分 没有解析解 数学家的方法：引入特殊函数 erf(x) 别介意erf(0.5)=? 工程技术人员需要得出近似的数值解 (2) 解析解存在但不实用时 n×n矩阵的行列式 解析解：代数余子式的方法，n阶矩阵行列式化成n-1阶行列式，n-1阶变换成n-2阶 结论：任意阶次的矩阵行列式均有解析解 忽略了计算量问题： n=20，计算量为 每秒百亿次的计算机计算3000年！ 550×550矩阵行列式数值解不足1s即可得出 很多领域需要计算更大规模矩阵的行列式 其他应用数值解的场合 力学领域 常用有限元法求解偏微分方程 在航空、航天与自动控制领域 经常用数值线性代数与常微分方程的数值解法等解决实际问题 工程与非工程系统的计算机仿真 差分方程、常微分方程的数值解法 高科技的数字信号处理领域 快速Fourier变换已经成为其不可或缺的工具 3.2 数值线性代数问题及求解 本节主要内容 特殊矩阵的MATLAB输入 矩阵基本分析与运算 矩阵逆与广义逆运算 矩阵的相似变换与分解 矩阵的特征值与特征向量 代数方程求解 矩阵的非线性运算 3.2.1 特殊矩阵的MATLAB输入 零矩阵、幺矩阵和单位矩阵 伪随机元素矩阵 伪随机数”：通过某种数学公式生成的、满足某些随机指标的数据，是可以重复的 对角矩阵 Hilbert矩阵及逆矩阵 伴随矩阵 由首一多项式生成的矩阵 MATLAB函数 p为多项式向量，自动首一化 Hankel矩阵 反对角线上元素相等 MATLAB调用格式 举例 Vandermonde矩阵 已知向量 符号矩阵及矩阵转换 数值矩阵转符号矩阵 符号矩阵转双精度矩阵 3.2.3 矩阵基本分析与运算 矩阵的行列式 数学求解 MATLAB求解 举例 矩阵的迹 矩阵的秩 矩阵的范数 向量范数满足的三个条件 向量的范数 矩阵的范数 常用矩阵范数 MATLAB求解函数 选项：1, 2, inf, ‘fro’ 特征多项式、特征方程与特征根 特征多项式 特征方程 特征根：上述方程的根 例：A 矩阵的特征多项式 有误差，对某些问题可能有极大误差 Leverrier-Faddeev递推算法 递推求解多项式系数 其中 多项式及多项式矩阵的求值 矩阵多项式 MATLAB求解： 点运算多项式 MATLAB求解： Hamilton-Cailey定理 3.2.5 矩阵逆与广义逆运算 矩阵的逆矩阵 inv()函数可以用于符号矩阵求解 奇异矩阵和长方形矩阵可以求广义逆 这样的广义逆不唯一 Moore-Penrose广义逆 前面介绍的广义逆有无穷多解 引入最优化准则 则可以得出唯一的逆矩阵，满足下面条件 称为Moore-Penrose广义逆，或伪逆 矩阵广义逆举例 长方形矩阵 MATLAB求解 3.2.6 矩阵的相似变换与分解 对方阵A，存在非奇异方阵T，使得 上述变换称为相似变换，T 称为变换矩阵 正交矩阵 满足 化零空间 (null space) 矩阵的三角分解 任意矩阵分解成 MATLAB函数 这样构造的函数使用了主元素法，不能保证得出的一定是三角矩阵，也可能是置换 为符号矩阵重载了lu()函数 数值分解 解析分解 对称矩阵的Cholesky分解 LU分解的特例： MATLAB函数： 例：对称3×3 Hilbert矩阵 重载的chol()函数 矩阵的奇异值分解 任意矩阵满足 奇异值分解 MATLAB命令： 条件数： 3.2.6 矩阵的特征