[中学教育]1999年全国高中数学联合竞赛试题及解答.docVIP

1999年全国高中数学联合竞赛一、选择题（满分36分，每小题6分） 1．给定公比为 q ( q 1)的等比数列{ a n }，设 b 1 = a 1 + a 2 + a 3 , b 2 = a 4 + a 5 + a 6 ,…, b n = a 3 n -2 + a 3 n -1 + a 3 n ,…，则数列{ b n }(???) ( A )是等差数列? ???????????????( B )是公比为 q 的等比数列 ( C )是公比为 q 3 的等比数列? ???( D )既非等差数列也非等比数列 解析：(C).　　由题设，an=a1qn-1 ，则　　　　因此，｛bn｝是公比为q3的等比数列．2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式 (| x |-1) 2 +(| y |-1) 2 ＜2的整点( x , y )的个数是(??? ) ( A )16?????( B )17??????( C )18???????( D )25 解析：(A)(|x|-1)2+(|y|-1)22,可得(|x|-1,|y|-1)为(0，0)，(0，1)，(0，-1)，(1，0)或(-1，0).从而，不难得到(x,y)共有16个．3．若(log23)x-(log53)x ≥(log23)-y-(log53)-y，则(??? ) ( A ) x - y ≥0????? ( B ) x + y ≥0?????? ( C ) x - y ≤0??????? ( D ) x + y ≤0 解析：(B)f(t)=(log23)t-(log53)t，则f(t)在R上是严格增函数．原不等式即f(x)≥f(-y)．x≥-y，即x+y≥0．4．给定下列两个关于异面直线的命题： 命题Ⅰ：若平面 上的直线 a 与平面 上的直线 b 为异面直线，直线 c 是 与 的交线，那么， c 至多与 a , b 中的一条相交； 命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。 那么，(??? ) ( A )命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确????? ( B )命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确 ( C )两个命题都正确??????????????? ( D )两个命题都不正确 解析：(D)． c与a、b都相交；故命题Ⅰ不正确；又可以取无穷多个平行平面，在每个平面上取一条直线，且使这些直线两两不同向，则这些直线中的任意两条都是异面直线，从而命题Ⅱ也不正确．5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是(??? ) ( A )0????????( B )1?????????( C )2??????????( D )3 解析：(B)r，共n名选手参赛．由题意，可得 =44+r．由于0≤r≤3，经检验可知，仅当r=1时，n=13为正整数．6．已知点 A (1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线 y 2 =4 x 交于另外两点 B , C ，那么，△ ABC 是(??? )  ( A )锐角三角形???( B )钝角三角形? ??( C )直角三角形????( D )答案不确定解析：(C)B(t2,2t),C(s2,2s),s≠t,s≠1,t≠1，则直线BC的方程为 2x-(s+t)y+2st=0．BC过点(5，-2)，故 2×5-(s+t)(-2)+2st=0，即 (s+1)(t+1)=-4． .　　所以，∠BAC=90°，从而△ABC是直角三角形．二、填空题（满分54分，每小题9分） 7．已知正整数 n 不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的 n 的个数是___________.解析： 6．a为的连续k个正整数之和为　．　　由Sk≤2000，可得60≤k≤62．k=60时，Sk=60a+30×59，由Sk2000，可得a≤3，故Sk=1830,1890,1950；k=61时，Sk=61a+30×61，由Sk2000，可得a≤2，故Sk=1891，1952；k=62时，Sk=62a+31×61，由Sk2000，可得a≤1，故Sk=1953．n有6个．8．复数(12+5i)2(239-i)的辐角主值是_________. 解析： 　　z的辐角主值argz=arg［(12+5i)2(239-i)］=arg［(119+120i)(239-i)］ =arg［28561+28561i］= 8．在△ ABC 中，记 BC = a ， CA = b ， AB = c ，若9 a 2 +9 b 2 -19 c 2 =0，则 =