经济数学微积分高阶导数推荐.pptVIP

导数与微分 一、高阶导数的定义 二、 高阶导数的求法法则 三、小结 思考题 三、随机时间序列模型的识别 所谓随机时间序列模型的识别，就是对于一个平稳的随机时间序列，找出生成它的合适的随机过程或模型，即判断该时间序列是遵循一纯AR过程、还是遵循一纯MA过程或ARMA过程。 所使用的工具主要是时间序列的自相关函数（autocorrelation function，ACF）及偏自相关函数（partial autocorrelation function， PACF ）。 1、AR(p)过程 (1)自相关函数ACF 1阶自回归模型AR(1)： Xt=?Xt-1+ ?t 的k阶滞后自协方差为： Xt=?1Xt-1+ ?2Xt-2 + ?t 该模型的方差?0以及滞后1期与2期的自协方差?1, ?2分别为： 一般地，p阶自回归模型AR(p)： Xt=?1Xt-1+ ?2Xt-2 +… ?pXt-p + ?t 其中：1/zi是AR(p)特征方程?(z)=0的特征根，由AR(p)平稳的条件知，|zi|1; 因此， 当1/zi均为实数根时，?k呈几何型衰减（单调或振荡）； 当存在虚数根时，则一对共扼复根构成通解中的一个阻尼正弦波项， ?k呈正弦波衰减。 （2）偏自相关函数 在实际识别时，由于样本偏自相关函数rk*是总体偏自相关函数?k*的一个估计，由于样本的随机性，当kp时，rk*不会全为0，而是在0的上下波动。但可以证明，当kp时，rk*服从如下渐近正态分布: rk*~N(0,1/n) 式中n表示样本容量。 对MA(1)过程： 可见，当k1时，?k0，即Xt与Xt-k不相关，MA(1)自相关函数是截尾的。 MA(1)过程可以等价地写成?t关于无穷序列Xt，Xt-1，…的线性组合的形式： 其自协方差系数为： 与MA(1)相仿，可以验证MA(q)过程的偏自相关函数是非截尾但趋于零的。 ARMA(p,q)的自相关函数，可以看作MA(q)的自相关函数和AR(p)的自相关函数的混合物。 当p=0时，它具有截尾性质； 当q=0时，它具有拖尾性质； 当p、q都不为0时，它具有拖尾性质 自相关函数ACF(k)给出了Xt与Xt-1的总体相关性，但总体相关性可能掩盖了变量间完全不同的隐含关系。 例如，在AR(1)随机过程中，Xt与Xt-2间有相关性可能主要是由于它们各自与Xt-1间的相关性带来的: 即自相关函数中包含了这种所有的“间接”相关。 与之相反，Xt与Xt-k间的偏自相关函数(partial autocorrelation，简记为PACF)则是消除了中间变量Xt-1，…，Xt-k+1 带来的间接相关后的直接相关性，它是在已知序列值Xt-1，…，Xt-k+1的条件下，Xt与Xt-k间关系的度量。 从Xt中去掉Xt-1的影响，则只剩下随机扰动项?t，显然它与Xt-2无关，因此我们说Xt与Xt-2的偏自相关系数为零，记为： 在AR(1)中， 同样地，在AR(p)过程中，对所有的kp，Xt与Xt-k间的偏自相关系数为零。 AR(p)的一个主要特征是:kp时，?k*=Corr(Xt,Xt-k)=0 即?k*在p以后是截尾的。 一随机时间序列的识别原则： 若Xt的偏自相关函数在p以后截尾，即kp时，?k*=0，而它的自相关函数?k是拖尾的，则此序列是自回归AR(p)序列。 需指出的是， 我们就有95.5%的把握判断原时间序列在p之后截尾。 因此，如果计算的rk*满足： 2、MA(q)过程 可容易地写出它的自协方差系数： 于是，MA(1)过程的自相关函数为： 或： （*） (*)是一个AR(?)过程，它的偏自相关函数非截尾但却趋于零，因此MA(1)的偏自相关函数是非截尾但却趋于零的。 注意: (*)式只有当|?|1时才有意义，否则意味着距Xt越远的X值，对Xt的影响越大，显然不符合常理。 因此，我们把|?|1称为MA(1)的可逆性条件（invertibility condition）或可逆域。 一般地，q阶移动平均过程MA(q) 相应的自相关函数为： 可见，当kq时， Xt与Xt-k不相关，即存在截尾现