经济管理数学第2章_微分学及其应用教材教学课件.pptxVIP

经济管理数学;2.1 导数概念 2.1.1 引例 引例1 变速直线运动的瞬时速度. 若物体作匀速直线运动，则物体在任何时刻的速度都等于运动路程除以运动时间．但若物体做非匀速直线运动，且知其运动规律为s＝s(t)，应如何求它在t＝t0时的瞬时速度呢？这个问题可以通过下述办法解决： 当时间t从t0变到t0＋Δt时，物体所经过的路程为; 于是，在Δt时间内物体的平均速度为;设某产品的总成本C随产量x而确定，则C是x的函数，记作C＝C(x)(x＞0)，通常称它为成本函数．试求产量为x0个单位时，总成本的变化率． 当产量x从x0变化到x0＋Δx时，总成本取得相应的改变量; 显然，当Δx→０时，极限值 ; 也可记作 . 如果此极限不存在，则称函数y=f(x)在x0处不可导．;由导数定义还可将求导数方法概括为以下三步： 算增量：Δy = f(x0＋Δx)－f(x0)； 写比值： Δ； 求极限： . 例 求函数 1) 在点x = 1处的导数．;解; 故 ，又f(0)=0，所以f(x)在x=0处连续. 可知f ′+(0)≠f ′-(0),即 f(x)在 x = 0处不可导． 2.2 求导方法 2.2.1 导数定义求导法;例 设y=f (x)=c (c为常数)，求y ． 解 因为Δy=f (x＋Δx)－f(x) =c－c=0 ;2.2.2 四则运算求导法 定理2.2 设函数u(x)与v(x)在x处可导，则(u±v),uv, 在x处可导，且 ;例 已知 ，求y′． 解;2.2.3 反函数求导法 定理2.3 设函数x=φ (y)在某一区间内单调、连续、可导，且φ ′(y)≠0，则其反函数y=f(x)在对应区间内可导，且 换句话说：即反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 例 设y=arcsin x(－1＜x＜1)，求y′． 解 因为y=arcsin x(－１＜x＜１) 与; 互为反函数，由反函数求导法，得;2.2.4 复合函数求导法 (1)复合函数求导 定理2.4 设函数u=φ (x)在点x处可导，函数y=f(u)在对应点处可导，则复合函数y=f［φ (x)］在点x处可导，且 设 则复合函数; 的导数为 或;例 设y=sin e-x，求y′. 解 (2)隐函数求导法 求隐函数F(x，y)=0的导数，一般是将方程两端同时对自变量x求导，遇到含y的项就把它看成是x的函数y(x)，同时利用复合函数的求导法则，然后从所得的关系式中解出y′，就得到所求隐函数的导数．;例 求由方程 所确定隐函数的导数y′与y′(0)． 解 将xy－ex＋ey=0两边同时对x求导数，并注意到y是x的函数，ey是x的复合函数．于是有 解出y′，得 ; 又将x=0代入方程xy－ex＋ey=0，得y=0. 所以 . *(3)对数求导法 具体做法是：先取对数，然后按隐函数求导法则求导. 例 设 ，求y′． 解 方程两边取自然对数; 由隐函数求导法则，将上式两边同时对x求导得 解出y′，得 即;2.2.5 初等函数求导公式 (1)导数基本公式;(2)函数和差积商求导法则;(3)反函数求导法则 设y=f(x)是x=φ (y)的反函数，则 即 (4)复合函数求导法则 设y=f(u)，u=φ (x)，则复合函数y=f［φ (x)］的导数为 ; 或 2.2.6 高阶导数求法 二阶及二阶以上的导数，统称为高阶导数．从高阶导数的定义可知，要求函数y=f(x)的高阶导数，只要反复运用求导方法，逐阶求导即可． 例 求y=x3－2x2＋3x＋7的各阶导数． 解 ;例 求y=sin x的n阶导数． 解 ; 所以 同理;解 相应的面积改变量为 第一部分2xΔx是Δx的线性函数，其系数2x正好是A=x２的导数，即图2．3中画斜线的那两个矩形面积之??；第二部分(Δx)２，因 ，所以(Δx)２是Δx的高阶无穷小，即图2.3中画网线的小正方形的面积．; 或df(x)，即;2.3.2 微分的几何意义 函数y