复变函数与积分变换留数参考.pptVIP

本章重点与难点 拓展思考 复变函数中的可去奇点与实变函数中可去间断点有何共同之处? 也可写为 例5 计算 的值. 解:这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的. 在上半平面内有一级极点ai, 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform §5.2 留数 留数的定义 如果函数f(z)在z0的邻域D内解析,那么根据柯西积分定理 但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去心邻域 0|z-z0|R 内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分 未必再等于零。 两端沿C逐项积分: 定义 D z1 z2 z3 zn C1 C2 C3 Cn C 定理一 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1, z2, ...,zn 外处处解析. C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 则 2.留数定理 证明 把C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来, 则根据复合闭路定理有 注意检查定理中的条件要满足。例如 不能应用留数定理。 求函数在孤立奇点z0处的留数就是求它在去心邻域内所展洛朗级数中(z-z0)-1 项的系数 c-1 即可. 但如果知道奇点的类型, 对求留数会更有利. 如果z0是f (z)的可去奇点, 则Res[f(z),z0]=0 . 如果z0 是本性奇点, 则只好将其展开成洛朗级数. 如果z0 是极点, 则有如下规则: 3. (极点)留数的计算规则 规则2 如果z0为f(z)的m级极点, 则 事实上, 由于f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...,(z-z0)m f(z)=c-m+c-m +1(z-z0)+...+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+..., 规则1 如果z0为f (z)的一级极点, 则 令 z?z0,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-1)! 就是Res[f(z),z0],即得规则2,当 m=1时就是规则1。 即得 规则3。 由规则1, 得 我们也可以用规则3来求留数: 比用规则1更简单! 例 4 解： z = 0为一级极点。 例 5 解： 原式 *§5.3.在无穷远点的留数 f (z)在圆环域 R|z|?内解析： 理解为圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线。 的值与C无关, 称其为f (z)在?点的留数, 记作 设函数f(z)在圆环域R|z|?内解析,C为圆环域内绕原点的 任何一条简单闭曲线, 则积分 这就是说,f(z)在?点的留数等于它在?点的去心邻R|z|+?内洛朗展开式中 z-1 的系数变号. 定理二 如果f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那么f(z)在所有各奇点(包括?点)的留数总和必等于零. 证：除?点外,设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,...,n).且C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,...,n)包含在它内部的正向简单闭曲线, 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有 所以规则4 成立. 定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又 一种方法, 在很多情况下, 它比利用上一段中的方法更简便. 例 6 解： 证明： §5.3 留数在定积分计算上的应用 如图，对于实积分 ，变量x定义 在闭区间[a,b](线段 )，此区间应是回路 的一部分。实积分要变为闭路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含闭路的一个区域中,让实积分成为闭路积分的一部分： 例1 计算 的值. 解：令 例2 解： 取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R为半径的在上半平面的半圆周. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内. z1 z2 z3 y CR -R R O x 不失一般性, 设 为一已约分式. 例3 例4 解： 复变函数与积分变换 Complex Analysis and