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习题课 设函数 例5. 计算二重积分 (2) 积分域如图: 例9. 试计算椭球体 解法2：利用“先一后二”计算. 解法3 作业 P124 2，3，6，7(1)(3)，8 例5 证 例6 解 例7 解 利用球面坐标 例8 解 利用“先二后一”计算. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的体积 V. 解法1 利用三重积分换元法. 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9 证 思路：从改变积分次序入手． * 一、主要内容 二、典型例题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 重积分的 计算 及应用 定 义 几何意义 性 质 计算法 应 用 二重积分 定 义 几何意义 性 质 计算法 应 用 三重积分 一、主要内容 1、二重积分的定义 ２、二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值． 性质１ 当 为常数时， 性质２ ３、二重积分的性质 性质３ 对区域具有可加性 性质４ 若 为D的面积 性质５ 若在D上， 特殊地 性质６ 性质７ （二重积分中值定理） D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍 在 D 上 在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 则 则 有类似结果. 性质8 ４、二重积分的计算 ［X－型］ X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. （１）直角坐标系下　 Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. ［Y－型］ （２）极坐标系下　 5、三重积分的定义 6、三重积分的几何意义 三重积分的性质 类似于二重积分的性质． 7、三重积分的计算 (１) 直角坐标 (２) 柱面坐标 (３) 球面坐标 8、二重积分的应用 (1) 体积 设S曲面的方程为： 曲面S的面积为 (2) 曲面积 当薄片是均匀的，重心称为形心. (3) 重心 薄片对于x轴的转动惯量 薄片对于y轴的转动惯量 (4) 转动惯量 薄片对 轴上单位质点的引力 为引力常数 (5) 引力 9、三重积分的应用 (１) 重心 (２) 转动惯量 对 xoy 面上的平面薄片D , 它对原点处的单位质量质点 的引力分量为 ⑶物体的引力 二、典型例题 例1 解 X-型 例2 解 先去掉绝对值符号，如图 例3 解 例4 解 其中: (1) D为圆域 (2) D由直线 解: (1) 利用对称性. 围成 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 将D 分为 添加辅助线 利用对称性 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束