Jacobi椭圆函数展开法及其应用.docxVIP

第 16 卷第 2 期烟台大学学报 (自然科学与工程版)Vol. 16 No. 22003 年 4 月Journal of Yantai University (Natural Science and Engineering Edition)Apr. 2003文章编号 :1004Ο8820 (2003) 02Ο0094Ο05J acobi 椭圆函数展开法及其应用王晓丽 ,张鸿庆(大连理工大学 应用数学系 ,辽宁 ,大连 116024)摘要 : 借助于计算机代数和吴方法 ,本文给出了一种求非线性波动方程精确解的方法 ———Jacobi 椭圆函数展开法. 此方法改进了已有的 Jacobi 椭圆正弦函数和 Jacobi 椭圆余弦函数 展开法. 应用此方法 ,本文不仅得到了 KdV 方程 、Boussinesq 方程以及 KleinΟGordon 方程的 已有的实数解 ,还给出了新的复数解. 在它们的极限条件下 ,新的周期波解和冲击波解也 被获得.关键词 :Jacobi 椭圆函数 ;计算机代数 ;吴方法 ;精确解中图分类号 : O175. 29文献标识码 :A为了研究非线性问题 ,如孤立子 、混沌 、湍流 、吸引子和分形等 ,人们往往借助于描述它 们的数学模型 ———非线性偏微分方程来研究这个问题. 因此 ,寻找非线性偏微分方程的精确 解 ,显得非常重要. 30 多年来 ,非线性数学物理研究领域颇具有特色的成就之一就是创造了 求非线性偏微分方程精确解 ,特别是求孤波解的各种精巧方法 ,如反散射方法 、双线性算子 方法 、Backlund 变换 (B T) 等. 最近 ,也出现了许多求非线性波方程精确解的新方法 ,如齐次 平衡法[ 1～5 ] 和 sine2cosine 方法[ 6 ] . 文献[ 7～9 ]也探讨了求解非线性方程解的方法. 但是 ,这 些方法只能求得非线性波方程的冲击波解和孤波解 ,不能求得非线性方程的周期解. 文献 [ 10 ,11 ]分别用 Jacobi 椭圆正弦函数和 Jacobi 椭圆余弦函数展开法求得了一些非线性波方 程的解. 本文将此法改进 ,并运用于 KdV 方程 、Boussinesq 方程以及 Klein2Gordon 方程 ,利用 吴文俊消元法[ 12 ] ,除了获得了文献[ 10 ]中求得的解外 ,还得到了一个新的复数解. 这种途径 对于寻找非线性波动方程新的具有物理意义的解或许是有用的.1Jacobi 椭圆函数展开法考虑非线性波方程作行波变换N ( u , ut , ux , utt , ux x ,)= 0.(1)u = u (ξ),ξ = k ( x -ct) .(2)其中 k 和 c 分别为波数和波速.则式 (1) 被约化为 ODE 方程收稿日期 : 2002 - 11 - 15基金项目 :国家自然科学基金资助项目 ;国家重点基础研究发展规划资助项目( G1998030600) .作者简介 : 王晓丽(1980 - ) ,女 ,山东蓬莱人 ,在读研究生 ,从事数学机械化 、孤立子及可积动力系统的研究.第 2 期王晓丽 ,等 :J acobi 椭圆函数展开法及其应用·95 ·其中“′”表示 d u/ dξ.Q ( u , u′, u″,)= 0.(3)设 u (ξ) 为下列 Jacobi 椭圆函数形式的解 :nu (ξ)=∑sn j - 1ξ( bj snξ + ajcnξ)+ b0 .(4)j = 1它的最高阶数为O ( u (ξ) )= n .(5)其中 cnξ, snξ和 dnξ分别为 Jacobi 椭圆正弦函数 ,J acobi 椭圆余弦函数和第三种 Jacobi 椭圆 函数 , 且cn2ξ = 1 - sn2ξ,dn2ξ = 1 - m 2 sn2ξ,(6)m (0 m 1) 为模数 , 且 ddξsnξ = cnξdnξ, ddξcnξ = - snξdnξ,ξ ddξdn= - m2 snξcnξ.(7)因此 ,nd u2j - 2dξ=∑[( j - 1) aj + jbjcnξsnξ -jaj sn ξ]snj = 1其中 d u/ dξ的最高阶数为ξdnξ,(8)类似地 ,有O ( d u) = n + 1 .(9)dξ23O ( u d u)= 2 n + 1 ,O ( d u)= n + 2 ,O ( d u)= n + 3.(10)dξdξ2dξ3在式 (4) 中选择 n ,使得非线性波方程 (1) 中的非线性项和最高阶导数项平衡. 将式 (4) 带入 式 (3) ,通过函数的无关性 ,可获得一个代数方程组. 通过