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数学选讲: 旋转与面积证明方法选学 例1、如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．在图（1）中， 点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：． 在图（2）--（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外． （1）请探究：图（2）--（5）中， h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论） （2）证明图（2）所得结论；（3）证明图（4）所得结论． （4）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60o， RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，桥形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为： ；图（4）与图（6）中的等式有何关系？ 2．中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于． 当绕点旋转到时（如图1），易证． 当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 例3、已知：如图①所示，在和中，，，，且点在一条直线上，连接分别为的中点． （1）求证：①；②是等腰三角形． （2）在图①的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）②中延长交线段于点．求证：． 3.如图8-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F. (1) 求证：BP=DP； (2) 如图8-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明； (3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 . 例4、如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC． （1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论． （2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG。你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 例5、已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N。 （1）求证：MD＝MN； （2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，则结论“MD＝MN”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。 （2）若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由． （3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCD…X”，请你作出猜想：当∠AMN= °时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明） 4.如图①，小明在研究正方形ABCD的有关问题时，得出：“在正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE＝∠EAD，那么EF⊥AE”。他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”(如图②、图③、图④)，其它条件不变，发现仍然有“EF⊥AE”结论。 你同意小明的观点吗？若同意，请结合图④加以证明；若不同意，请说明理由。 5.已知RtABC中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CECF分别与直线交于点MN． （）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图，求证：；（）当扇形CEF绕点C旋转至图的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 和．将这两张三角形胶片的顶点与顶点重合，把绕点顺时针方向旋转，这时与相交于点． （1）当旋转至如图②位置，点，在同一直线上时，与的数量关系是 ． （2）当继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）在图③中，连接，探索与之间有怎样的位置关系，并证明． F A B C D E P M (4) A B C D E P M (3) A B C D E P M (2) A B C D E M(P) (1) A B C D E P M (5) F A B C D E P M (6) R S A B C E F G 图15-2 D A B C D E F