研_第7章 非线性方程的数值解法.ppt

§3 牛顿法及其变形 一 牛顿法 1 基本思想: 2 公式: 2.收敛性 故牛顿法至少是局部平方收敛的. §4 Newton - Raphson Method 注：Newton’s Method 收敛性依赖于x0 的选取。 x* x0 ? x0 ? x0 二 牛顿法的变形 1 简化牛顿法 2 割线法 x0 x1 切线 /* tangent line */ 割线 注: 三 计算重根的牛顿迭代法 1 问题 2 结论: 方法收敛，但收敛速度下降 3 计算重根加速方法 ?方案1: 化重根为单根 ?方案2:取迭代格式 可以证明是局部平方收敛的迭代格式。 如何确定重根数m: 边迭代边估计的方法 【评注】 Newton法是一种求解f(x)=0行之有效的迭代法,在单根附近 具有较高的收敛性。但不足之处在于： 1）关键在于选取足够精确的迭代初值，若选择不当，可能发散； 2）另一局限在于计算导数f`(x)，若f(x)的形式复杂不便求之， 则利用估计值差商代替，但收敛速度下降。 练习 §4非线性方程组的求解方法 问题 二元函数情形 一 预备知识:多元函数Taylor展开 推广:n元函数情形 等价变形 . . . . . . . 例１ 解 用Matlab函数ezplot作图,可见 发　散 收　敛 -539.3241554 1417.9538618 0.9938084 -0.2222146 7 迭代初值 -18.4009437 53.0754819 0.9938087 -0.2222152 6 -2.6113694 10.1508421 0.9938072 -0.2222088 5 -0.5525653 4.3873818 0.9938065 -0.2222362 4 -0.0205807 2.8730094 0.9938702 -0.2222559 3 0.1712375 2.3275000 0.9933750 -0.2210500 2 0.2550000 2.1000000 0.9950000 -0.2300000 1 ? ? . ? ? . . 解 用Matlab函数ezplot作图 ? ? . 第七章 非线性方程(组)的数值解法 §1 二 分 法 §2 不动点迭代法 §3 Newton迭代法 §4 非线性方程组的求解方法 引例1（P37 实验四） 解 球的质量: 排开水的质量: 由Archimedes定律： 即需求解: 引例2 （P38-6）开普勒（Kepler）方程 它确定了隐函数 . （可以证明 有唯一的 ) 求 f (x) = 0 的根 2 二分法 原理：若 f ?C[a, b]，且 f (a) · f (b) 0，则 f 在 (a, b) 上必有一根。 §1 二 分 法 Bisection Method 1 根的隔离与隔根区间 a b x1 x2 a b When to stop? 或 能不能保证 x 的精度? x* ?2 x x* Bisection Method Bisection Method 误差分析 第1步产生的 有误差 第 k 步产生的 xk 有误差 对于给定的精度 ? ,可估计二分法所需的步数 k ： ①简单; 对f (x) 要求不高(只要连续即可) . ②无法求复根，收敛慢 注：用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图以确定根的大概位置。或用有哪些信誉好的足球投注网站程序，将[a, b]分为若干小区间，对每一个满足 f (ak)·f (bk) 0 的区间调用二分法程序，可找出区间[a, b]内的多个根，且不必要求 f (a)·f (b) 0 。 §2 不动点迭代法 等价变形 一 问题 二 基本思想 转化为不动点求解 三 基本思想与迭代格式 构造迭代: 基本迭代格式 迭代函数 迭代收敛 迭代发散 ?方案1: ?方案2: ?方案3: k 格式2 格式3 1 1.5917 1.8257 2 1.3947 1.0047 3 1.5149 3.1549 4 1.4362 0.6812 13 1.4653 四 几何意义 五 收敛条件和误差估计 a b φ(a) φ (b) a b φ (b) φ(a) 定理 迭代的收敛性及误差估计 代入上式结论得： 所以发散。 注: 1、收敛快慢与L的大小有关: 2、事后误差估计： L越小,收敛越快;L越大,收敛越慢 事先误差估计： 3、程序终止条件： 定理2 （局部收敛性） 证明 例2 讨论例1中求　　　　　　　各方法的敛散性 ?方案1: 迭代收敛 又 又 迭代收敛 ?方案３: ?方案２: 所以发散 证明