模糊数学(第九讲).pptVIP

第三章 模糊关系与模糊聚类分析 第九讲 3.1 模糊关系及其运算(续) 3.2 模糊等价关系及其性质 复习有关内容: §3.1 模糊关系及其运算 3.1.1 普通关系与Boole矩阵 定义3.1.1 设U, V 为两个论域, 若R∈P(U×V), 则称R为U到V 的一个普通关系. 若(u, v)∈R , 则称u对v有关系R,记作uRv ; 若(u, v)?R, 则称u对v没有关系R,记作 ; 若U=V, 且R∈P(U×U),则称R为U上的普通关系. 3.1.2 模糊关系与模糊矩阵 定义3.1.3 设U, V 为两个论域, 若R∈F(U×V)则称R为U到V的一个模糊关系. 对(u, v)∈U×V , 称R(u, v)为u对v具有模糊关系R的相关程度.特别地 (1) 称R∈F(U×U) 为U上的模糊关系; (2) 若?(u, v)∈U×U,有 则称R为U上的恒等关系 , 这时记R = I ; (3) 若?(u, v)∈U×V, 有R(u, v)=0,则称 R为U到V的零关系 ,这时记R = 0 ; (4) 若?(u, v)∈U×V,有R(u, v)=1, 则称R为全关系 ,这时记R = E . 3.1.3 模糊关系的运算 定义3.1.5 设R, Q 为U到V的两个模糊关系,则 (1) 称R∪Q为R与Q的并,其相关函数为 (R∪Q) (u, v) =R(u, v) ∨Q(u, v) , ?(u, v)∈U×V . (2) 称 R∩Q为R与Q的交,其相关函数为 (R∩Q) (u, v) =R(u, v) ∧Q(u, v) , ?(u, v)∈U×V . (3) 称R? 为R的补,其相关函数为 R? (u, v)=1－R (u, v) , ?(u, v)∈U×V . 定理3.1.1 设R,Q∈F(U×V), 则有 (1) (RT)T= R ; (2) (R∪Q)T= RT∪QT , (R∩Q)T= RT∩QT ; (3) R?Q? RT ? QT ; (4) ??∈[0,1], (RT) ? = (R?)T , (RT) S? = (R S?)T ; (5) (RT)? = (R? )T . 定义 3.1.6 设R∈F(U×V), Q∈F(V×W), 则R, Q的合成,R?Q ∈F(U×W), 定义为 R?Q (u, w) =∨v∈V [R (u, v) ∧Q (v, w) ]. (1) 若R∈F(U×U),则记R0=I , Rn=Rn-1 ? R (n=1,2,…); (2) 若R=(rij)m×n , Q=(qjk)n×l,则R?Q =(pik)m×l , 其中 即pik为R中第i行的元素与Q中第j列的元素对应取小后再取大而得到. 定理3.1.2 设P, Q, R为三个模糊关系,且可进行合成运算,则有 (1) 结合律: R ?( Q ?P ) = ( R ? Q ) ? P (2) 分配律: ( R∪Q ) ?P = ( R ?P ) ∪ ( Q?P ) , P?( R∪Q ) = (P ?R )∪(P ?Q ) ; (3) 单调性: R?Q? R ?P ? Q?P ,P ? R ?P ?Q, (4) ( R∩Q ) ?P ? ( R ?P ) ∩ ( Q?P ) , P?( R ∩ Q ) ? (P ?R ) ∩(P ?Q ) . 定理3.1.4 : 设 R∈F(U×V), Q∈F(V×W), ??∈[0,1], 则有 (1) ( R ? Q )S? = RS? ? QS? ; (2) R? ? Q? ? ( R ? Q )? ; (3) 若V为有限论域, 则( R ? Q )? = R? ? Q?. 证明:(见黑板). 定理3.1.5 设R∈F(U×V), Q∈F(V×W), 则 R ? Q = ∪?∈[0,1] ?(R? ? Q?). 证明:(见黑板). §