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多变量分析中常用的矩阵代数 华中师大 刘华山 一、矩阵及其主要相关概念 （一）矩阵（matrix）：一群数排列成m行（row,横行）n列（column,纵列）所得到的数表。如： 矩阵用大写黑体字母表示为：A， i为行序数，j为列序数。 一行一列的矩阵等同于一个数，即A=（a）=a （二）方阵（square matrix）：行数与列数相等的矩阵。如B为3阶方阵。 （三）方阵之迹（trace）:方阵自左上至右下的主对角线各元素之和。记作trA。如上例方阵B之迹为58. （四）转置矩阵（transpose）:将矩阵A的第i行，变为第i列，所得到的新矩阵，叫做矩阵A的转置矩阵，记作 如上例，方阵B之转置矩阵为： 方阵转置后，其迹不变。 （五）对称矩阵（symmetric matrix）：如果 在对称矩阵中， 为节省起见，对称矩阵主对角线一侧的元素可略去不写。 如上面的对称矩阵可简写作 (六)反对称矩阵 （七）三角矩阵（triangular matrix）：主对角线一侧元素皆为零的矩阵。 其中，主对角线左下方有非零元素的三角矩阵，叫下三角矩阵；主对角线右上方有非零元素的三角矩阵，叫上三角矩阵。为节省起见，三角矩阵中主对角线一侧的皆为零的元素可略去不写，但要写一个“零”字，以与对称矩阵相区别。如 （八）对角（线）矩阵（diagonal matrix）:除主对角线元素外，其余元素皆为零的矩阵。主对角线元素指。对角线矩阵可以简写如下： （九）单位矩阵或单元矩阵（identity matrix）:主对角线各元素皆为1的对角线矩阵。可以记作 单元矩阵与任何矩阵A相乘，不论左乘，还是右乘（如果可乘的话），其积为矩阵A。单元矩阵不一定相等，因可能阶数不等。 （十）初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。由于单位矩阵是可逆的、满秩的，初等矩阵也是可逆的、，满秩的。 （十一）零矩阵（zero matrix）:零矩阵可以表示为。零矩阵不一定相等，因可能阶数不等。 (十二)负矩阵：A的矩阵的负矩阵—A等于A矩阵所有元素反号后组成的矩阵。 显然：A＋（—A）=0 （十三）满秩（full rank）矩阵与缺秩（deficient rank）矩阵 有矩阵A为缺秩矩阵（又称降秩矩阵）。 两矩阵相乘所得新矩阵的秩数，不超过原来两个矩阵中秩数较小的一个。 （十四）系数矩阵与增广矩阵 设有方程组Ax=b (其中A为系数矩阵，x为未知数列向量，b为常数列向量)，则 A为系数矩阵，为增广矩阵。 则 （十五）正交矩阵 正交矩阵实际上是正规（标准）正交矩阵，其各列向量内积为零，各向量长度为1. 二、向量及其有关概念 （一）向量（vector）：只有一行或一列的矩阵，叫向量。 向量以小写黑体英文字母表示。行向量各元素间有逗号隔开。 （二）行向量与列向量 m×1矩阵，叫m维列向量；1×n矩阵，叫n维行向量。 为了节约篇幅，列向量通常写作行向量的转置。 4维行向量如 （三）单元向量（unit vector） 元素都是1的向量，叫单元向量。用黑体数字1表示，右下可加数字表示维数。注意不应与单元矩阵I相混淆。 （四）零向量（zero vector） 元素都是0的向量，叫零向量。用黑体数字0表示. 三、矩阵之间的关系 （一）转置矩阵（transpose） （二）负矩阵 （三）逆矩阵（反矩阵，inverse matrix） 如果有 A的逆矩阵是惟一的。只有非特异矩阵（满秩矩阵才有逆矩阵）。例如 可逆矩阵A的逆矩阵惟一性的证明：若B、C都是A的逆矩阵，由定义知： AB=BA=I,CA=AC=I,则B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C (四)同型矩阵 如两个矩阵A和B具有相同的行数和相同的列数，则A、B为同型矩阵。 （五）矩阵相等 A、B为同型矩阵，且 两个零矩阵、两个单元矩阵不一定相等，因为他们可能不同型。 （六）伴随矩阵（adjoint matrix） 设有n阶矩阵A，将A的每一个元素替换为其对应的代数余子式，然后再转置， 所得到的矩阵，叫原矩阵的伴随矩阵。A的伴随矩阵记作adjA或A*. 四、行列式及其有关概念和计算 (一)行列式（determinant）行列式实际是一系列的几个数连乘积的和的一种记录式。通常用D表示。n阶矩阵（方阵）A， 则A的行列式记作detA或 （二）行列式与矩阵 1,行列式是一个数值，矩阵是含有若干行与列的一个数表； 2.行列式的行数与列数相等，矩阵的行数与列数可不相等；