高一数学第七讲函数图象与图象变换.docVIP

高一数学第七讲 函数图象与图象变换 函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用，因此同学们要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质. 一、基础知识 1．作函数图象的一个基本方法作函数图象的另一个基本方法——图象变换法． 一个函数图象经过适当的变换()，得到另一个与之相关的图象， 这就是函数的图象变换．在高中，主要学习了三种图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换． (1) 函数y=f(x+a)(a0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位而得到； 函数y=f(x)+b(b0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|个单位而得到． (2)伸缩变换 函数y=Af(x)(A0，A≠1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A＞1) 或缩短(0＜A＜1)成原来的A倍，横坐标不变而得到． 函数y=f(x)(ω＞0，ω≠1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上 而得到． (3) 函数自身的对称性探究 定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。 （充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。 推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) 推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x) 不同函数对称性的探究 定理3. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。 推论：函数y=-f(-x)y=f(x)的图象关于原点对称的图形而得到． 定理4. ①函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。 推论：函数y=f(-x)y=f(x)的图象关于y轴对称的图形而得到． ②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。 ③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。 推论：函数y=f-1(x)y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图形而得到。 定理3与定理4中的①②证明留给大家，现证定理4中的③ 设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P‘（x1， y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴点P‘（x1， y1）在函数x－a = f (y + a)的图像上。同理可证：函数x－a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理4中的③成立。 定理5。①函数y=-f(x)y=f(x)的图象关于x轴对称的图形而得到． ②函数y=f(|x|)y=f(x)在y轴右方的图象及其与y轴对称的图形而得到． ③函数y=|f(x)|y=f(x)的图象，然后把在x轴下方的图象以x轴为对称轴 翻折到x轴上方，其余部分保持不变而得到． 二、典型例题 例(1)y=|x-2|(x＋1)；(2)y=10|lgx|． 例2．若f(x)的图象过(0,1)点，则f-1(x)的图象过________点，f(x+1)的图象过______点，f-1(x+1)的图象过______点。  例3．1）把函数y=(x-2)2+2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，所得图象对应