抛物线及其标准方程教案5.docVIP

抛物线及其标准方程教案 ●教学目标 （一）知识与技能 1.抛物线的定义. 2.抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点和准线. （二）能力训练要求 1.掌握抛物线的定义及其标准方程. 2.掌握抛物线的焦点、准线及方程与焦点坐标的关系. （三）德育渗透目标 1.训练学生化简方程的运算能力. 2.培养学生数形结合、分类讨论的思想. 3.根据圆锥曲线的统一定义，可以对学生进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思想教育. ●教学重点 1.抛物线的定义及焦点与准线. 2.抛物线的四种标准方程形式，以及p的意义. ●教学难点 抛物线的四种图形，标准方程的推导及焦点坐标与准线方程. ●教学方法 启发引导式 通过回忆椭圆与双曲线的第二定义可引入抛物线的定义，从而推出抛物线的四种标准方程. ●教具准备 投影片两张 第一张：抛物线的四种形式 第二张：例题与课时小结 ●教学过程 一、.课题导入 ［师］我们知道，到一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹，当常数在（0，1）内变化时，轨迹是椭圆；当常数大于1时，轨迹是双曲线；那么当常数等于1时轨迹是什么曲线呢？这就是今天我们要学习的第三种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程. 板书课题“抛物线及其标准方程（1）”. ［师］现在，同学们思考两个问题： 1.对抛物线大家已有了哪些认识？ ［生］在物理学中，抛物线被认为是抛体运动的轨迹；在数学中，抛物线是二次函数的图象. 2.二次函数中抛物线的图象特征是什么？ ［生］在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴平行于y轴，开口向上或开口向下两种情形 ［师］如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了.今天我们突破函数研究中的限制，从一般意义上来研究抛物线. 二、.讲授新课 ［师］如图所示，把一根直尺固定在图上直线l的位置，把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长（即点A到直线l的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F，用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线.请同学们说出这条曲线有什么特征？ ［生］这条曲线上任意一点P到F的距离与它到直线l的距离相等.再把图板绕点F旋转90°，曲线即为初中见过的抛物线. ［师］现在我们一起归纳抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.下面根据抛物线的定义来求其方程，大家先想想一般求曲线方程的步骤. ［生］首先建立适当的坐标系，然后在曲线上任取一点坐标设为（x,y)，再根据题意找出x与y的关系即为所求方程. ［师］现在大家自己求抛物线方程，根据抛物线定义，知道F是定点，l是定直线，从而F到l的距离为定值，设为p，则p是大于0的数. 以下是学生的几种不同求法： 解法一：以l为y轴，过点F垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系（如右图所示），则定点F（p,0) 设动点M（x,y)，由抛物线定义得： 化简得： y2=2px-p2(p＞0) 解法二：以定点F为原点，过点F垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系（如右图所示），则定点F（0，0），l的方程为x=-p. 设动点M（x,y)，由抛物线定义得： =|x+p| 化简得： y2=2px+p2(p＞0) 解法三：取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如右图所示，则有F（,0）,l的方程为x=-. 设动点M（x,y），由抛物线定义得： 化简得 y2=2px(p＞0) ［师］通过比较可以看出，第三种解法的答案不仅具有较简的形式，而且方程中一次项的系数是焦点到准线距离的2倍.我们把这个方程叫做抛物线的标准方程，它表示抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是（,0），准线方程是x=-.现在大家开始做课本P118上的练习第1题. 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p＞0) （,0） x=- y2=-2px(p＞0) （-,0） x= x2=2py(p＞0) （0,） y=- x2=-2py(p＞0) （0,-） y= 学生们经过一番运算，得出当坐标系变为以过焦点且垂直于直线l的直线作为y轴，原点和抛物线都不变时，抛物线方程为x2=2py. ［师］一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，如下表所示：（打出投影片） ［师］下面结合表格，看下列例题： 1.已知抛物线的标准方程是y