[理学]线性代数CH4-线性方程组.ppt

思考题 思考: 设 是4阶矩阵，其中 线性无关， 如果 ，求 的通解. 为非齐次线性方程组的解 分析： ∴通解为 例: 设 问u, v =?方程组(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解. 解: 当u≠2时有唯一解; 当u= 2, v≠3时, 无解; 当u = 2, v = 3时,有无穷多解; 通解 初等行变换 行最简形矩阵对应的方程组为 是自由变量。 (2) 法1：先求通解，再求基础解系 令 则 即 法2：先求基础解系，再求通解。 在(2)中令 得 则通解为 定理：对于 n 元齐次线性方程组Ax = 0， 如果 r(A) = r n，则方程组的基础解系存在， 且含n-r 个解向量，即解空间的维数为n-r。 例：设Am×nBn×l=O(零矩阵)，证明R(A) + R(B) ≤ n ． 例：证明 R(ATA) = R(A) ． 例：设 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 与Bx = 0 同解，证明R(A) = R(B) ． 例 设A，B 都是 n 阶矩阵，且AB = 0, 证： 若 r =n， B = 0，R(B) = 0, 等号成立。 则方程组AX = 0 的解空间的维数为 n-r 。 因AB = 0 ，从而得B 的列向量组的最大无关组所含的向量的个数至多为 n - r ， 所以R(B) ≤n - r , 因此得 则A 可逆， 于是得 此时 证明： 例 证 解： 例 : 求下列齐次方程组的通解。 初等行变换 令 得 通解 §3 非齐次线性方程组 非齐次性线性方程组 对应的齐次线性方程组 例 : 线性方程组 在三维直角坐标系中分别表示经过原点的直线。 在三维直角坐标系中分别表示不经过原点的平面。 和 和 定理3.2： 是 是 的解，则 对应的齐次线性方程组 的解。 性质： 是对应的齐次线性方程组 的解， 是 的解， 是 的解。 则 若 有解，则其通解为 其中 是 的一个特解， 是 对应的齐次线性方程组 的通解。 定理3.3： 例6 : 求解非齐次方程组 解： 令 得 令 得基础解系 所以原方程组的通解是 　　1） 将增广矩阵B=(A b)化为行阶梯形，求出R(A),R(B) n元线性方程组 的求解步骤（特解+通解法）： 　　2） 若R(A)≠R(B)，无解 　若R(A)=R(B)=n，有唯一解，转3） 　　3） 将增广矩阵的行阶梯形继续化为行最简形，并据此写出同解方程组，进而求出方程组的唯一解； 　若R(A)=R(B)n，无穷多解，转4） 　　4） 将增广矩阵的行阶梯形继续化为行最简形，并据此写出同解方程组，将n-R(A)个自由未知变量移到等式右边。令自由未知变量全为0，求得AX=b的一个特解?0 ；求得相应齐次线性方程组AX=0的基础解系x1, x2, ..., xn-r 。 则通解为x= ?0 + k1x1 + k2x2 + … + kn-rxn-r 例 : 求下列方程组的通解。 解： 令 得 得基础解系 令 所以通解是 例 设四元非齐次方程组 的系数矩阵A的秩为 3,已知其三个解向量为 求该方程组的通解. 是导出组的一个基础解系． 故原方程组的通解为 解： 结论： 第四章 线性方程组的解 一、线性方程组的表达式 一般形式 向量方程的形式 方程组可简化为 AX = b ． 增广矩阵的形式 向量组线性组合的形式 二、线性方程组的解的判定 设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组 定义：线性方程组如果有解，就称它是相容的；如果无解， 就称它是不相容的． 问题1：方程组是否有解？ 问题2：若方程组有解，则解是否唯一？ 问题3：若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？ m、n 不一定相等！ 定理：n 元线性方程组 Ax = b 无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n ． 一般形式