[理学]2-1矩阵及其运算.ppt

* * §1.1 矩阵的概念 一、实际例子 例1 设某物质有 m 个产地，n 个销地，如果以 aij 表示由第 i 个产地销往第 j 个销地的数量，则这类物质的调运方案，可用一个数表表示如下： 销地 销量 产地 1 2 … j … … n 记为 例2 解线性方程组 1行—2行 3行—1行 2行—3行 代替： r1－r2 r3－r1 r2－r3 由m×n 个数 aij ( i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n)有次序地排成 m 行(横排) n 列(竖排)的数表 称为一个 m 行 n 列的矩阵，简记 (aij)m×n，通常用大写字母 A，B，C，…表示，m 行 n 列的矩阵 A 也记为 Am×n，构成矩阵 A 的每个数称为矩阵 A 的元素，而 aij 表示矩阵第 i 行、第 j 列的元素。 定义 注： 只有一行的矩阵 A1×n = (a1 a2 … an) 只有一列的矩阵 称为列矩阵； 称为行矩阵； 元素全为 0 的矩阵称为零矩阵，记作O； 若 A = (aij)m×n, B = (bij)m×n 是同型的，且 aij = bij (i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n) ，则称 A 与 B 相等，记作 A ＝ B； 不同型的零矩阵是不相等的。 两个矩阵 A、B，若行数、列数都相等，则称 A、B 是同型的； §1.2 矩阵的运算 一、矩阵的加法 1. 定义 设 A = ( aij )m×n , B = ( bij )m×n 则矩阵 C = ( cij ) m×n= ( aij + bij ) m×n 称为矩阵 A 与 B 的和，记作 C = A+B。 2. 性质 设 A，B，C，O 都是 m×n 矩阵，则 (1) A + B = B + A (2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (3) A + O = O + A = A 二、 矩阵的减法 设 A = ( aij ) m×n , 则称 ( －aij ) m×n 为A的负矩阵，简记－A 显然 A+ (－A)= O , －(－A) = A 设 A = ( aij ) m×n , B = ( bij ) m×n A－B = A + (－B ) = ( aij－ bij ) m×n 1. 负矩阵 2. 矩阵相减 三、数与矩阵的乘法 1. 定义 记为 ? A，即 设 ?是常数， A = ( aij ) m×n ， 则矩阵 ( ? aij ) m×n 称为 数 ? 与矩阵 A 的乘积， 2. 性质 设 A、B 为 m × n 矩阵，?、 μ 为常数 (1) ( ? μ ) A = ? (μ A) = μ ( ? A ); (2) ? ( A + B ) = ? A + ? B (3) ( ? + μ ) A = ? A + μ A (4) 1·A = A (－1)·A = －A 例2.1 设 求 A－2B 解： 四、矩阵乘法 1. 定义 设 A = ( aij ) m×s , B = ( bij ) s×n , 是 m×n 矩阵，其中 cij 等于 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素的乘积之和: ( i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n) C＝AB = ( cij ) m×n 则 A 与 B 的乘积 第i行j列 例 设 试证： (1) AC = AD (2) AB = 0 ； 故 AC ＝ AD 证： 比较： 在数的乘法中，若 ab = 0 ? a = 0 或 b = 0 两个非零矩阵乘积可能为O。 在矩阵乘法中,若 AB = O ? A = O 或 B = O 在矩阵乘法中, 若 AC = AD, 且 A ? O ? C = D 在数的乘法中，若 ac = ad，且 a ? 0 ? c = d (消去律成立) (消去律不成立) 例 设矩阵 求乘积 AB 和 BA. 解： 注：AB ? BA 即矩阵乘法不满足交换律 2. 性质 (1) ( A B ) C = A ( B C ) (2) A (B + C ) = A B + A C (3) ( B + C ) A = B A + C A (4) ? ( A B ) = ( ? A ) B = A ( ? B ) (其中 ? 为常数) 3. 线性方程组的矩阵表示 设方程组为 可表示为 简记为 AX＝B 其中 称为由线性方程组