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简单的二元二次方程组 一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解． 【例1】解方程组 分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得，代入方程(2)消去． 解：由(1)得： (3) 将(3)代入(2)得：，解得： 把代入(3)得：；把代入(3)得：． ∴原方程组的解是：． 说明：(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤： ①由二元一次方程变形为用表示的方程，或用表示的方程(3)； ②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程； ③解消元后得到的一元二次方程； ④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的 值； ⑤写出答案． (2) 消，还是消，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那 么最好消去系数绝对值较小的，如方程，可以消去，变形 得，再代入消元． (3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值， 不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点 切记． 【例2】解方程组 分析：本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把、看成是方程的两根，则更容易求解． 解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把、看成是方程的两根，解方程得：． ∴ 原方程组的解是：，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成异于、的字母，如． (2) 对称形方程组的解也应是对称的，即有解，则必有解． 二、由两个二元二次方程组成的方程组 1．可因式分解型的方程组 方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成． 【例3】解方程组 分析：注意到方程，可分解成，即得或，则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程． 解：由(1)得： ∴ 或 ∴ 原方程组可化为两个方程组：，： 说明：由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分解，化为两个二元一次方程，则原方程组转化为解两个方程组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程． 【例4】解方程组 分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项式的方程．对其因式分解，就可以转化为例3的类型． 解：(1) –(2)得： ∴ ∴ 原方程组可化为两个二元一次方程组：．，：． 分析：(1) +(2)得：，得：，、．得：，得：．，：．、都可以通过变形转化为的形式，通过构造一元二次方程求解． 2．可消二次项型的方程组 【例6】解方程组 分析：注意到两个方程都有项，所以可用加减法消之，得到一个二元一次方程，即转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组． 解：(1) 得： 代入(1)得：． 分别代入(3)得：． A 组 1．解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 2．解下列方程组： (1) (2) 3．解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 4．解下列方程组： (1) (2) B 组 1．解下列方程组： (1) (2) 2．解下列方程组： (1) (2) 3．解下列方程组： (1) (2) 4．解下列方程组： (1) (2) 第六讲 简单的二元二次方程组答案 A 组 1． 2． 3． ． 4．(1) ．(2) ． B 组 1． 2． 3． 4．， 1