蒙特卡洛计算中减少方差的技巧.PDFVIP

2. 4 蒙特卡洛计算中减少方差的技巧 蒙特卡洛求积分的方差为 2 { } σ V f n . 其中 { }为被积函数f 的方差。 V f 公式反映出增加随机点数n 时，蒙特卡洛计算的精度可以得 到改善，但是精度提高非常缓慢。因此用增加蒙特卡洛计算的随 机投点数来提高精度总是耗费大量的机时。 另一个减少计算结果误差的途径是减少 的方差 。 f { } V f 重要的减少方差 的技巧。 { } V f 一、 分层抽样(stratified sampling) 数学上，分层抽样是基于黎曼积分的特性： 1 a 1 I ∫f (x)dx ∫ f (x)dx + f (x)dx ，∫ 0 a 1 0 0 a 将积分区域划分成小区域是在数值积分中常用的技巧。 蒙特卡洛的分层抽样技巧的抽样步骤： （1）将积分区间（或空间）划分为不相交的子区间（或子空间）； 然后在第i 个子区间（或子空间）内抽取n 个随机点。 i {} （2）如果将子区间长度（或子空间体积）记为 i ，我们将子区 {} 间 （或子空间）内所有点上的函数值乘上权重因子 i n 之后迭加 i 起来，就得到该积分在这个子区间的积分估计值； （3）将所有子区间的积分值迭加起来，就得到在整个区间的积 分估计值。这样得到积分的估计值的方差为： 1 2 n 2   j {} {} j j 2 {}   { ( )} σ V I ∑ ∑V f xij ∑ j   n n j j i 1 j j   {} 如果适当选择子区间 i 的大小