[英语学习]lecture_05计算几何基础.pptVIP

ACM程序设计 杭州电子科技大学 刘春英 acm@hdu.edu.cn 第五讲 计算几何初步 (Computational Geometry Basic) 第一单元 线段属性 思考： 1、传统的计算线段相交的方法是什么？ 2、传统方法和本方法的区别是什么？ 特别提醒： 以上介绍的线段的三个属性，是计算几何的基础，在很多方面都有应用，比如求凸包等等，请务必掌握！ 第二单元 多边形面积和重心 基本问题（1）： 给定一个简单多边形，求其面积。 输入：多边形（顶点按逆时针顺序排列） 输出：面积S 思考如下图形： Any good idea? 先看最简单的多边形——三角形 三角形的面积： 在解析几何里， △ABC的面积可以通过如下方法求得： 点坐标 = 边长 = 海伦公式 = 面积 思考：此方法的缺点： 计算量大 计算几何的方法： 在计算几何里，我们知道，△ABC的面积就是“向量AB”和“向量AC”两个向量叉积的绝对值的一半。其正负表示三角形顶点是在右手系还是左手系。 大功告成： Area(A,B,C)= 1/2 * (↑AB) × (↑AC) =∣ ∣/2 特别注意： 以上得到是有向面积（有正负）！ 凸多边形的三角形剖分 很自然地，我们会想到以 P1为扇面中心，连接P1Pi就得到N-2个三角形，由于凸性，保证这些三角形全在多边形内，那么，这个凸多边形的有向面积： A=sigma(Ai) (i=1…N-2) 凹多边形的面积？ 依然成立！！！ 多边形面积公式：A=sigma(Ai) (i=1…N-2) 任意点为扇心的三角形剖分： 我们能把多边形分成N-2个三角形，为什么不能分成N个三角形呢？ 比如，以多边形内部的一个点为扇心，就可以把多边形剖分成 N个三角形。 前面的三角剖分显然对于多边形内部任意一点都是合适的！ 我们可以得到： A=sigma(Ai) （ i=1…N ） 即：A=sigma∣ ∣/2 （ i=1…N ） 能否把扇心移到多边形以外呢？ 既然内外都可以，为什么不设P0为坐标原点呢？ 简化的公式： A=sigma∣ ∣/2 （ i=1…N ） 基本问题（2）： 给定一个简单多边形，求其重心。 输入：多边形（顶点按逆时针顺序排列） 输出：重心点C 从三角形的重心谈起： 三角形的重心是： (x1+x2+x3) / 3，(y1+y2+y3) / 3 看看一个特例： 原因： 错误的推广公式是“质点系重心公式”，即如果认为多边形的质量仅分布在其顶点上，且均匀分布，则这个公式是对的。 但是，现在多边形的质量是均匀分布在其内部区域上的，也就是说，是与面积有关的！ Solution: 剖分成N个三角形，分别求出其重心和面积，这时可以想象，原来质量均匀分布在内部区域上，而现在质量仅仅分布在这N个重心点上（等假变换），这时候就可以利用刚才的质点系重心公式了。 不过，要稍微改一改，改成加权平均数，因为质量不是均匀分布的，每个质点代表其所在三角形，其质量就是该三角形的面积（有向面积！），——这就是权！ 公式： C=sigma(Ai * Ci) / A (i=1…N) Ci=Centroid(△ O Pi Pi+1) = (O + ↑Pi +↑Pi+1 )/3 C=sigma((↑Pi +↑Pi+1)(↑Pi ×↑Pi+1) ) /(6A) 第三单元 凸包( Convex Hull ) 凸包模板： Any question? 课后在线作业： ?《ACM程序设计》在线作业（5）—— 计算几何 Welcome to HDOJ Thank You ~ //xiaoxia版 #include stdio.h #include math.h #include stdlib.h typedef struct { double x; double y; }POINT; POINT result[102]; //保存凸包上的点 POINT a[102]; int n,top; double Distance(POINT p1,POINT p2) //两点间的距离 { return sqrt((p1.x-p2.x)*(p1.x-p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.y-p2.y)); } double Multiply(POINT p1,POINT p2,POINT p3) //叉积 { return ((p2.x-p1.x)*(p3.y-p1.y)-(p2.y-p1.y)