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解析几何大题训练 题1 设P是双曲线C：（ａ＞０，ｂ＞０）右支上的一点，过P的直线与双曲线的两条渐近线l１：bx-ay=0及l２：bx+ay=0分别交于A、B两点，A、B两点横坐标的积为，且＝２，双曲线C的离心率为． (Ⅰ)求双曲线C的方程； (Ⅱ)已知点M的坐标为(4，3)，F为双曲线C的右焦点，当点P在双曲线C上运动时，求｜ＰＭ｜＋｜ＰＦ｜的最小值． 题2 已知曲线M:x-y=m (x＞0,m为正常数)，直线L与曲线M的实轴不垂直， 且依次交直线y=x，曲线M，直线y=-x，于A、B、C、D四个点。O为原点。 Ⅰ) 若｜AB｜=｜BC｜=｜CD｜，求证：△AOD的面积为定值。 Ⅱ) 若△BOC的面积等于△AOD面积的 ， 求证：｜AB｜=｜BC｜=｜CD｜. 题1解：（Ⅰ）∵ｅ＝ ① 设A(x１，ｙ１)，Ｂ（ｘ２，ｙ２） ∵A在L１上，∴ｂｘ１－ａｙ１＝０， ∴ｙ１＝， 同理，B在Ｌ2上，∴ｂｘ２＋ａｙ２＝０ ∴ｙ２＝ 又设P(x,y)由于＝２， ∵P(x,y)在双曲线上， ∴ 化简得8x１ｘ２＝９ａ２， 由于 ∴８·＝９ａ２，∴ａｂ＝６ ② 由①得， 代入②得ａ２＝４，故b２＝９ 所求双曲线为 (Ⅱ)双曲线的右准线方程为l：，过P作PN⊥l于N，由双曲线第二定义知  故 当M、P、N三点共线时，｜ＰＭ｜＋｜ＰＮ｜最小, 进而｜ＰＭ｜＋｜ＰＦ｜最小，最小值为 题2解：Ⅰ) 设l:y=kx+b代入x-y=m 得(1-k)x-2bkx-b-m=0 ① 显然，k≠±1, △=4bk+4(1-k)(b+m)＞0 b+m(1-k)＞0， 设 B(x，y)，C(x，y) 则 xx 是①的两根， 设 A(x，y)，D(x，y) y=kx+b y=kx+b 由 得由 得 y=x y=-x ∵ ｜AB｜=｜BC｜=｜CD｜ ∴ ｜BC｜=｜AD｜ ∴ ｜x-x｜ ｜x-x｜ ∴｜x-x｜=｜x-x｜ 整理， 得 ∵ b＞0, m＞0, ∴ k＞1 又｜OA｜=｜｜，｜OD｜｜｜，∠AOD=90°, ∴ ·｜OA｜·｜OD｜ (定值)…… Ⅱ) 设BC的中点为P，AD的中点为Q，则 , ∴ x=x，又P、Q都在直线l上， ∴ P、Q重合，∴ ｜AP｜=｜DP｜ ∴ ｜AP｜-｜BP｜=｜DP｜-｜CP｜ ∴｜AB｜=｜CD｜ ∵， ∴ ｜BC｜=｜AD｜ ∴ ｜AB｜+｜CD｜=｜AD｜ ∴ ｜AB｜=｜CD｜=｜AD｜ ∴ ｜AB｜=｜BC｜=｜CD｜ 题3:已知l1、l2 是过点 P(,0) 的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲 线 y-x=1# 各自有两个交点，分别为A1、B1 和A2、B2。 (1) 求l1 的斜率K1 的取值范围； (2) 若A1 恰是双曲线的一个顶点，求 ｜A2B2｜的值。 题3解：(1) 依题设，l1, l2的斜率都存在，因为l1过且与双曲线有两个交点。 故方程组 y-x=1 (1)有两个不同的解 消去y整理得： (2) 若则方程组(1)只有一个解，与题设矛盾∴ 又时方程(2)的判别式为△1=4(3k-1) 同理可设l2的斜率为k2，可用同法得到 △2=4（3-1） （≠1）#。又k1·k2=-1 于是l1,l2与双曲线各有两个交点，等价于 3 -1＞0 -1＞0 ＜｜k1｜＜ 解得 k1·k2=-1 ｜k1｜≠1 ｜k1｜≠1 ∴k1∈(，-1)∪(-1,)∪(,1)∪(1,) (2) 双曲线 y-x=1的顶点为(0，1)，(0，-1) 取A1(0,1)时，有，解得 从而. 记12与双曲线两交点为A2(x1,y1)，B2(x2,y2)。 则由韦达定理可得｜A2B2｜. 当取A1(0,-1)时，由双曲线y-x=1的关于x轴的对称性， 知｜A2B2｜. ∴ L1过双曲线的一个顶点时，｜A2B2｜.