近世代数讲义电子教案1.doc

《近世代数》课程教案 第一章 基本概念 教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用代数运算的应用，对代数运算的理解代数运算符号与映射合成运算符号的区别的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果；模n的剩余类。 教学措施：网络远程。 教学时数：8学时。 教学过程： §1 集合 定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。 定义：一个没有元素的集合叫做空集，记为，且是任一集合的子集。 （1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。 （2）集合表示： 习惯上用大写拉丁字母A，B，C…表示集合， 习惯上用小写拉丁字母a，b，c…表示集合中的元素。 若a是集合A中的元素，则记为。 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例：A=｛1，2，3，4｝，B=｛1，2，3，…，100｝。 2、描述法：—元素具有的性质。 例：。显然例6中的A就是例5的A。 3、绘图法：用文氏图（）可形象地表现出集合的特征及集合之间的关系。 （3）集合的蕴含（包含） 定义：若集B中每个元素都属于集A，则称B是A的子集，记为，否则说B是A的子集，记为. 定义：设，且存在，那么称B是A的真子集，否则称B不是A的真子集。 定义：若集合A和B含有完全一样的元素，那么称A与B相等，记为A=B. 结论：显然，. （4）集合的运算 ①集合的并： ②集合的交： ③集合的差： ④集合在全集内的补： ⑤集合的布尔和（对称差）： ⑥集合的卡氏积： 注：中的元素可看成由A和B坐标轴所张成的平面上的点。 卡氏积的推广： 对上述集合运算，可以得到一批基本公式： 例题： A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B={2} A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A∩B=空集合. A={1.2.3} B={2.4.6} 那么A∪B={1.2.3.4.6} A={1.2.3} B={4.5.6} 那么A∪B={1.2.3.4.5.6} §2 映射 定义：设是集合A到B的一个对应法则：对于任何一个的元，都能够得到一个唯一的D的元d，那么这个法则叫做集合到集合D的一个映射。 其中，元d是在映射的象，a是b在下的逆象。 例1：A1=A2=....=An=D=所有实数作成的集合. φ：（a1,a2,……,an）……+an2=φ(a1,a2,…,an)是一个 A1×A2×…×AN 到D的映射. 例2 ：A1={东,西},A2={南}，D={高,低} φ1：（西,南）→高=φ1（西,南）到集合D的两个映射φ1与φ2是相同的，假如对任何一个元来说，φ1=φ2。 例5：A=D=所有正整数的集合. φ1：a→1=φ1（a）=φ2（a）， 如果n=2时，f就叫做代数运算。一般地有 定义：任一个的映射都叫做的一个代数运算。 例1：A={所有整数}，B={所有不等于零的整数}。D={所有有理数} 0：（a.b）=ab 是一个A×B到D的代数运算，即普通的除法例2：令V是数域F上一个向量空间，那么F的数与V的向量空间的乘法是一个F×V到V的代数运算例3：A={1},B={2},D={奇，偶} 0：（1.2）→奇=12 是一个A×B到D的代数运算例4 A={1.2},B={1.2},D={奇，偶} 0：（1.1）→奇 （2.2）→奇 （1.2）→奇 （2.1）→偶 是一个A×B到D的代数运算都是有限集时，那么的每一个代数运算都可以用运算表表示。 设，则运算表为： … ? ? ? ??????： ? 注：对于代数运算的运算表，要求中元素在上表中的位置互换。 在实际工作中，更多的是的情形，这时，有如下定义： 定义：若的代数运算，则可称是的代数运算或二元运算。 §4 结合律 例题:A={所有整数}，代数运算是普通减法 那么（a-b）-c≠a-(b-c) 除非c=0. 定义：设是集合的一个代数运算，如果都有，则称满足结合律。 定义：设中的代数运算为，任取个元素，如果所有加括号的步骤最后算出的结果是一样的，那么这个结果就用来表示。 定理：如果的代数运算满足结合律，那么对于的任意个元素来说，所有加括号的步骤运算的结果总是唯一的，因此，这一唯一的结果就可用来表示。 [论证思路] 因是有限数，所以加括号的步骤必是有限的。 任取一种加括号的步骤，往证： 对用数学归纳法。 ① ②和分别是和个元素经加括号而运算的结果. ③，由归纳假设释之. §5交换