[数学]第5章 解线性方程组的直接方法.pptVIP

* * * * * * 证明 用反证法。若det（I―B）=0,则（I―B）X=0有非零解， 即存在X0≠0使BX0=X0, 故‖B‖≧1，与假设矛盾，又由 (I－B)（I － B）-1 =I，有 （I － B）-1=I+B （I － B）-1 ， 从而 ‖（I ±B）-1 ‖≦‖I‖+‖B‖‖ （I ±B）-1 ‖ ‖（I －B）-1 ‖ ≦ §6 误差分析 一、矩阵的条件数 考虑线性方程组 AX=b 系数矩阵A和右端b的小扰动所产生的相对误差. 例8 方程组 准确解为 常数项微小变化后 准确解 定义7 如果矩阵A或常数项b的微小变化,引起线性方程组AX=b的解的巨大变化,则称此方程组为病态方程组矩阵A称为病态矩阵,否则称方程组为良态方程组,矩阵A为良态矩阵. 条件数刻画了线性方程组AX=b的解对数据误差的灵敏程度，它只与此方程组的系数有关，反映了方程组固有的本性。故可用条件数来描述方程组的性态. 例9 求Hilbert矩阵H3的条件数. 注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A?1，而由经验得出。 ? 行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）； ? 元素间相差大数量级，且无规则； ? 主元消去过程中出现小主元； ? 特征值相差大数量级。 如何发现判断矩阵是病态的? 如何解决和处理? 预处理方法，即将AX=b转化为等价的方程组 例10 设 则 化为 则 设 为线性方程组Ax=b的近似解，于是可计算 的剩余向量 ， 当 很小时， 是否为Ax=b一个较好的近似解呢？下面的定理给出了解答。 由（5.12）以及（5.13）式即得到（5.11） （5.11）式说明，近似解 的精度不仅依赖于剩余r的“大小”，而且依赖于A的条件数，当A是病态的，即使有很小的剩余r，也不能保证 是高精度的近似解 * * * * * * * * * * * * * * * 二、高斯—若当消去法 算法(高斯—若当消元法). 例4 采用高斯—若当消去法求矩阵 的逆A-1 . §4 矩阵的三角分解法 设有线性方程组：AX=b 一、直接三角分解法 1、不选主元三角分解算法 当A非奇异时，由不需选主元的顺序高斯消去法知 就有,不选主元的三角分解算法： 于是，可以通过求解两个三角形方程组 得到原方程组的解, 求解方程组计算公式: 说明: 上面方法称为杜利特尔（Doolittle）分解方法 练习 利用LU(Doolittle)分解法求解方程组 克劳特分解方法 设A为n×n阶非奇异矩阵,且各阶主子矩阵为非奇异,则矩 阵A的克劳特(Crout)分解为 A=LU 其中 这样,L、U中的元素都已求出。计算L的各列与U的各行的次序如图所示 。 图 对方程组Ax=b的系数矩阵A作出LU分解后,方程组便化为 LUx=b 则求解上列方程组就化为依次解方程组 Ly=b Ux=y 由于L为下三角矩阵,U为单位上三角矩阵,故上述方程组的求解极为方便。他们的计算公式分别为 用克劳特分解求解线性方程组Ax=b的计算过程为: ① LU分解过程:对于k=1,2,…,n依次计算 例4 用克劳特分解方法求解下列方程组 解 令 利用矩阵乘法可得到 这样原方程组就化为依次求下列两个三角形方程组 代入第二个方程组可求得原方程组的解为 2、选主元直接三角分解法 从直接三角分解公式可看出当 时计算将中断，或者当 绝对值很小时，按分解公式计算可能引起舍入误差的累积。但如果当A非奇异，我们可以通过交换A的行实现矩阵PA的LU分解.因此可采用与列主元消去法类似的方法，将直接三角分解法修改为（部分）选主元的三角分解法。 §5 向量和矩阵的范数 为了研究线性方程组的近似解的误差估计和迭代法的收敛性, 我 们需要对Rn中的向量(或Rnⅹn中的矩阵)的“大小”引进某种度量——向 量(或矩阵)的范数. 首先考虑Rn中向量的长度, 然后可定义向量(或矩阵)的范数. 定义1 设χ=(χ 1, χ 2, ?, χ n)T， у =(у 1, у 2, ?, у n)T∈ Rn . 将实数(χ, у)