[数学]概统第十一章1-2节.pptVIP

ch73 为取自总体 N ( ?1? ? 12 ) 的样本, 为取自总体 N ( ?2? ? 22 ) 的样本, (二) 两个正态总体的情形 (二) (X1,X2,…,Xm)与(Y1,Y2,…,Yn)相互独立,求二总体均值差 的1 ? ? 置信区间. 相互独立, (1) 已知, 的置信区间 公式(5) 枢轴函数 的置信区间为 例1 为考察工艺改革前后所纺线纱的断裂强度的变 化大小，分别从改革前后所纺线纱中抽取容量为80和 70的样本进行测试，算得样本均值和样本方差分别为 5.32和 5.76。假定改革前后线纱断裂强度分别服从正 态分布，其方差分别为21.82和1.762，试求改革前后线 纱平均断裂强度之差的置信度为95%的置信区间。 解： 由题意知 差正态分布表得 置信下限为 置信上限为 所以，所求的置信区间为 * 点估计有使用方便、直观等优点,但他并没有提供关于估计精度的任何信息,为此提出了未知参数的区间估计法. 第十一章 区间估计 如:对明年小麦的亩产量作出估计为: 明年小麦亩产量八成为800-1000斤. 即若设X表示明年亩产量,则估计结果为 P{800≤X≤1000}=80% 区间估计 引例 已知 X ~ N ( ? ,1), 不同样本算得的 ? 的估计值不同，因此除了给出 ? 的点估计外, 还希望根据所给的样本确定一个随机区间, 使其包含参数真值的概率达到指定的要求. ? 的无偏、有效点估计为 随机变量 常数 §7.3 如引例中，要找一个区间,使其包含 ? 的真值的概率为0.95. ( 设 n = 5 ) 取 查表得 这说明 即 称随机区间 为未知参数 ? 的置信度为0.95的置信区间. 反复抽取容量为5的样本,都可得一个区间,此区间不一定包含未知参数 ? 的真值, 而包含真值的区间占95%. 置信区间的意义 若测得 一组样本值, 它可能包含也可能不包含? 的真值, 反复 则得一区间 (1.86 – 0.877, 1.86 + 0.877) 抽样得到的区间中有95%包含 ? 的真值. 算得 当置信区间为 时 区间的长度为 —— 达到最短 取 ? = 0.05 设 ? 为待估参数, ? 是一给定的数, ( 0?1). 若能找到统计量 , 使 则称 为 ? 的置信水平为1 - ? 的 置信区间或区间估计. 置信下限 置信上限 置信区间的定义 定义 ? 反映了估计的可靠度, ? 越小, 越可靠. 置信区间的长度 反映了估计精度 ? 越小, 1- ? 越大, 估计的可靠度越高,但 ? 确定后, 置信区间 的选取方法不唯一, 常选最小的一个. 几点说明 越小, 估计精度越高. 这时, 往往增大, 因而估计精度降低. 注意:点估计给出的是未知参数的一个近似值; 区间估计给出的是未知参数的一个近似范围, 并且知道这个范围包含未知参数值的可靠程度. 例 总体均值 的95%置信区间的意义是( ) ①这个区间平均含总体的95%的值; ②这个区间平均含样本的95%的值; ③这个区间有95%的机会含 的真值; ④这个区间有95%的机会含样本均值. 求参数 置信区间 保 证 可靠性 先 提 高 精 度 再 处理“可靠性与精度关系”的原则 寻找一个样本的函数 它含有待估参数, 不含其它未知参数, 它的分布已知, 且分布不依赖于待估参数 (常由? 的点估计出发考虑 ). 例如 求置信区间的步骤 — 称为枢轴量 取枢轴量 给定置信度 1 ? ? ,定出常数 a , b ,使得 ( 引例中 由 解出 得置信区间 引例中 一个正态总体 X ~N ( ? ?? 2)的情形 第二节 正态总体下的置信区间 一、均值估计（1）方差? 2已知, ? 的置信区间） 推导 由 选取枢轴量 公式(一) (1) 得 ? 的置信度为 的置信区间为 α/2 α/2 X φ(x) 1-α =u1-α/2 k -k P{|U|k}=1-α 置信区间不是唯一的.对于同一个置信度,可以有不同的置信区间.置信度相同时,当然置信区间越短越好.一般来说,置信区间取成对称区间或概率对称区间. 注意: 例1 某厂生产滚珠，从某天生产的产品中随机抽取6个，测得直径为（单位： ）： 14.6 , 15.1,14.9,14.8,15.2,15.1 并知道滚珠的直径 ,求平均直 径 的 置信区间。 由正态分布表查得