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灰色预测理论在数学建模中的应用 ? 作 者：胡金杭 摘要：灰色 HYPERLINK /search.aspx?keyword=%CF%B5%CD%B3where=title \o 系统 系统理论在自动控制领域中已取得了广泛的应用，本文针对灰色预测理论的特点，分析了它在数学建模中的具体应用。首先，本文对如何将实际问题转化为灰色GM(1,1)预测模型给了具体的步骤，同时针对模型的特点，可以对其的预测精度进行后验差检验，随后，针对基本灰色GM(1,1)预测模型单调性的特点，我们可以采用改进的等维灰数递补模型，这样可以大大的提高模型对实际问题的预测精度。 关键字：GM(1,1)预测模型?? 后验差检验?? 等维灰数递补模型 ? 引言 ? ????? 现实中的很多实际问题，都需要通过分析现有的数据，对该问题未来的发展趋势进行预测，随后决策者参考预测得到的结果，就可以制定合理的解决方案。 ????? 在预测分析中，最基本的预测模型为线性回归方程，针对一些规律性较强的数据，该模型能作出精确的预测，但在实际中，我们得到的常是一些离散的，规律性不强的数据，为解决此类问题，线性的方法就不适用了，此时，就需要采用灰色预测的方法。 ????? 灰色预测理论是将看似离散的数据序列经数据变换后形成有规律的生成数列 ( 如累加生成、累减生成 ) ，然后对生成数列建立微分方程，得到模型的计算值后，再与实测值比较获得残差，用残差再对模型作修正，然后便可用建立的灰色模型对该问题进行预测。 ? 一、具体的灰色GM(1,1)预测模型的建立： ? ????? 我们设已知数据变量组成序列 ，则我们可得到数据序列 ，用1-AGO生成一阶累加生成序列为： 其中?????? ?????????????????????? ???????????????(1-1) ????? 由于序列 具有指数增长规律，而一阶微分方程的解恰是指数增长形式的解，因此我们可以认为 序列满足下述一阶线性微分方程模型 ???????????????????? ????????????????????????????????(1-2) ????? 我们利用离散差分方程的形式对上微分方程可以得到下矩阵形式： ????????? ???????????? (1-3) ????? 简记为：????????????????????????????????(1-4) 式中???? ；?? ；??? ????? 上述方程组中， 和B 为已知量，A 为待定参数。可用最小二乘法得到最小二乘近似值。因此，式（1－4）可改写为 ????? 式中，E —误差项。 ????? 利用矩阵求导公式，可得 ??????????????????????????????????????? ?(1-5) ????? 解得结果 代入（2－2）中，我们可以得到 ????????????????????????????? ???? (1-6) ????? 写成离散形式（令 ），得到GM(1,1)模型的时间响应函数 ????????????? （K =1，2，…）????????????? (1-7) ????? 我们对其做累减还原，即可得到原始数列 的灰色预测模型为： ??（K =1，2，…）???(1-8)?? 将相关数据代入公式中进行运算，我们得到系数 的具体值，即得到了具体的预测公式。 ? 二、灰色模型精度的后验差检验： ? ????? 对所建立的灰色预测模型，我们可以采用相应的后验差检验的方式进行预测数据的精度分析。 ????? 首先算得知残差平均值为 ????? 历史数据方差为 ????? 其中历史数据平均值为 ????? 残差方差为 ????? 后验差比值为 ????? 小误差概率为 ????? 最后，我们根据相关评判标准进行综合评定预测模型的小误差概率(P) 和后验差比值(C) .根据文献记载，我们一般可按下表五划分精度等级[5]。 预测精度 好 合格 勉强 不合格 P 0.95 0.95：0.80 0.80：0.70 0.70 C 0.35 0.35：0.50 0.50：0.65 0.65 ? ? ? ? ????? 我们从灰色预测模型公式中可以看出，它是一个典型的指数增长的模型，在进行预测时，最近一年的预测结果应该是很精确的，但对后续几年的预测误差会逐渐增大，为了提高预测模型的广泛适用性，我们做出了如下的改进。 ? 三、基于灰色预测的等维灰数递补模型 ? ????? 为了进一步提高模型的精度，在GM(1,1)灰色预测模型的基础上还可以做进一步的改进，使得预测结果更加的精确。 ????? GM(1,1)模型中具有预测意义的数据仅仅是数据x(n)以后的前几个数据，随着时间的推