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则坐标变换矩阵为： 空间梁单元的刚度矩阵为： 作用力矩阵为： 刚度方程为： 七、三维实体单元 15个未知数： 平衡方程： 几何方程： 物理方程 位移函数： 因此，应变可表示为： 可推出：刚度矩阵表达式： 典型的3D 实体单元类型： 例如： 线性六面体单元 位移函数： 形函数： 坐标变换： 雅可比矩阵： 应变能： 单元刚度矩阵： 主应力： 等效应力（冯米斯应力，第四强度理论）： 强度理论： 第三强度理论：认为最大剪应力是引起流动破坏的主要原因，如低碳钢拉伸时在与轴线成45度的截面上发生最大剪应力，材料沿着这个平面发生滑移，出现滑移线。该理论比较好的解释了塑性材料出现塑性变形的现象。形式简单，但结果偏于安全。 第四强度理论：认为形状改变比能是引起材料流动破坏的主要原因。结果更符合实际。 Von mises等效应力是正应力和剪切应力的组合，用应力等值线来表示模型内部的应力分布情况，可以清晰描述出一种结果在整个模型中的变化，从而使分析人员可以快速确定模型中的最危险区域。 一般脆性材料，铸铁、石料、混凝土，多用第一强度理论。考察绝对值最大的主应力。 一般材料在外力作用下产生塑性变形，以流动形式破坏时，应该采用第三或第四强度理论。压力容器上用第三强度理论（安全第一），其它多用第四强度理论。 八、二维实体单元（平面问题） 特殊平面问题一 平面应力问题： 特殊平面问题二 平面应变问题： 因此，定义形函数为： 简化后得： 则位移函数可简化为： 梁单元在局部坐标系统中有： 形函数可变为： 引入一量纲变量： 称为自然坐标 则形函数变为： 那么，位移函数可进一步表示为： 梁的曲率为： 令： 称为应变矩阵 则： 梁的截面弯矩为： 正应力： 梁单元的应变能： 其中： 外力做功为： 所以，梁单元刚度矩阵为： 将 B 代入上式可得： 因此，梁单元刚度方程为： 例题1：如图所示，求中间结点的挠度和转角以及两端点的反力与反力矩。 显然，将整个梁分成两个梁单元。 单元1与2的刚度矩阵分别为： 整体刚度矩阵为： 整体有限元方程为： 载荷和位移边界条件： 简化方程可得： 求解可得： 则反力及反力矩为： 例题2：如图所示，求挠度、转角以及反力。 可以分成两个梁单元，一个弹簧单元进行求解。 已知： 弹簧单元矩阵： 两个梁单元矩阵为： 整体有限元方程为： 边界条件： 边界条件代入有限元方程，简化后求解得： 再将求解结果代入有限元方程，可得反力。 如图所示，为一考虑轴向变形的平面弯曲梁单元。 这种梁单元相当于等截面直杆单元与不考虑轴向变形的纯弯曲梁单元的合成。 其单元刚度矩阵 为两单元的刚度 矩阵叠加，即： 单元刚度方程为： 对于连续梁单元，只有两个自由度，即梁端弯矩，有： 其刚度矩阵为： 对于一端刚结，一端铰结，其铰结端没有弯矩，即： 则有： 将上述方程代入刚度矩阵可得其单元刚度矩阵为： 单元刚度方程： 如果梁上作用有分布载荷，如图所示： 应将分布载荷转换为作用于节点上的集中力与弯矩，用公式表示为： 当： 则： 所以： 同样，如图所示的分布力可以进行等效转换。 例题3，如图所示，求解悬臂梁右端弯矩与挠度，左端反力与反力矩。 解：很显然，要将均匀分布力进行等效变换，如下图所示: 其中： 有限元方程为： 力与位移边界条件为： 方程简化为： 求解可得： 相应节点力与力矩为： 悬臂梁左端的反力和反力矩为： 平面问题中梁单元的坐标变换 按照两个坐标系中位移向量相等效的原则，可以推出坐标变换关系： 写成矩阵形式： 令： 称为坐标变换矩阵 平面梁单元的刚度矩阵为： 作用力矩阵为： 刚度方程为： 例题4，如图所示为一刚性梁框架，求解节点1和2的位移和转角。 解：题目求解主要有以下几个关键问题： 1、分布力通过形函数进行等效变换； 2、采用考虑轴向变形的弯曲梁单元； 3、梁单元必须将局部坐标系下的刚度矩阵变换为整体坐标系下的 刚度矩阵； 4、将各个梁单元的整体坐标系下的刚度矩阵组装成整体坐标系下 的整体刚度矩阵。 空间梁单元及其坐标变换 空间梁单元主要受轴向力、弯矩、扭矩的作用，如图所示，其整体刚度矩阵可由拉压杆单元、扭转杆单元、与平面梁单元合并而成。 其中： 为轴向位移，其刚度矩阵为拉压杆单元的刚度矩阵，即： 为扭转角位移，其刚度矩阵为扭转杆单元的刚度矩阵，即： 属于xoy 平面内梁纯弯曲情形，其刚度矩阵为： 属于xoz 平面内梁纯弯曲情形，其刚度矩阵为： 按照节点位移的顺序，经过组合，可得整体坐标系下空间梁单元刚度矩阵为： 空间梁单元坐标变换 按照位移向量等效原则，对于节点1有： 对于节点2有同样的矩阵表达式 其中： 称为节点坐标变换矩阵 节点坐标变换矩阵中的元素为局部坐