[工学]电磁场与电磁波课件高教版 第四章 静态场边值问题的解法.pptVIP

例 设有一点电荷q置于相交成直角的两个半无限大导电平板之前，试分析如何求解这一电场。 解：设想将导电板撤出，使整个空间充满介电常数为?的介质。在如图所示的位置上，放入三个镜像电荷。这样能保证原电场的边界条件不变。 3、点电荷关于无限大相交导体平面的镜像 原问题中的电场可看成由此四个电荷产生。注意：这种方法只能用来求第一象限的电场。 。 对于夹角为 的两个相连无限大导电平板间置有点电荷的问题，只要n为整数，在 区域内，可用镜像法解决。 4. 点电荷关于无限大介质分平面的镜像 边值问题： (下半空间) (除 q点外的上半空间) 图 点电荷对无限大介质分界面的镜像 和 解： ???????（1）线电荷?l1在空间产生场强 任取Q点作为参考点，则线电荷?l1在空间一点电位 例:半径为a的接地导体圆柱外由一条和它平行的线电荷，密度为?l1 ，与圆柱相距为d1。求空间电位函数。 5. 线电荷关于无限长圆柱导体的镜像 （2）设 ?l1的镜像电荷?l2在原点与?l1的垂直连线上，与圆柱轴线距离的d2＝a2/d1 圆柱接地，在通过P2 的直径与圆周的两交点上的电位为零。 代入d2＝a2/d1 可得 镜像电荷与原像电荷线密度大小相等，型号相反。 空间一点的电位 （3）如果圆柱不接地，则应在轴线上加＋pl1，以保持原边界条件（圆柱上净电荷为零，圆柱面为等位面）。 （4）如果圆柱不接地且线电荷密度为－pl1，此时相当于在（3）的基础上，再在轴线上加线电荷密度为－pl1，与（2）情况相同。  当r1/r2＝k为常数时，?为常数，等位面是偏心圆柱面族。 图表示线电荷pl1和其镜像pl2形成的电力线和等位面图 如果取k＝1的面为零电位面，则 圆柱面是等位面中的一个。在圆柱之外此图描述了带单位长度电荷－pl1的导电圆柱和线电荷pl1共同形成的电场。镜像线电荷可看成是导体圆柱上电荷的对外作用中心线，称为等效电轴。 同理将图中右侧的某一等位面用导体圆柱代替，不会影响柱外的电位和电场分布，只要导体圆柱带有单位长度电荷pl1。 原来线电荷pl1的位置可看成是该导体圆柱的电轴。 当场域边界的几何形状比较复杂时，很难用解析法进行分析。应采用数值计算法。有限差分法将连续场域内的问题转化为离散系统的问题，通过离散化模型上各离散点的数值解来逼近连续场域内的真实解。 1．差分原理 设有一函数f(x)，当独立变量x有一微小增量?x＝h，相应f(x)的增量为： ?f(x)=f(x+h)-f(x),称为函数f(x)的差分。 不同于增量为无限小的微分，差分被称为有限差分。当h很小时，?f(x)?df(x). §3.5有限差分法 中心差分?f(x)=f(x+h/2)-f(x-h/2) 一阶差商： 二阶差商 偏导数也可用差商近似表示。因而偏微分方程可表示为差分方程（代数方程）。 2．以二维场为例，将边值问题转化为一组差分方程组（代数方程组）。 设边值问题是 (1)决定离散点的分布方式。 按正方网格划分，网格边长（步长）h，网格线的交点称结点。 设结点O上的电位为?(xo,yo)= ?o, 结点1，2，3，4上的电位为?1，?2，?3，?4。 * §3.1直接积分法 边界条件 积分之，得通解 例3.1 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度 为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。 解: 采用球坐标系,分区域建立方程 参考点电位 图 体电荷分布的球形域电场 第四章 静态场及边值问题的解法 解得 电场强度（球坐标梯度公式）： 对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由 得到电场强度E的分布。 电位： §3.2直角坐标系中的分离变量法 分离变量法是一种最经典的微分方程法，它适用于求解一类具有理想边界条件的典型边值问题 。一般情况下,采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动方程的通解，而只有当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。 解题的一般步骤： ? 根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值 问题（微分方程和边界条件）； ? 分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程； ? 解常微分方程，并叠加各特解得到通解；