直线方程在综合题中的应用.doc

直线方程在综合题中的应用 贵州省龙里中学 洪其强（551200） 直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容，对称问题是直线方程的一个重要应用，线性规划是直线方程另一个方面的应用，属教材新增内容，直线方程与其他知识综合的问题是最能考查学生的综合能力及创新能力的，同时也是学生感觉最困难的问题，本文仅就这方面的问题作一浅显的探讨，以作参考。 1、直线与三角的综合应用 DBA左边线例1 北京时间2006年6月14日凌晨3点，巴西队和克罗地亚队在德国世界杯小组赛首场比赛中激战正酣，突然，巴西著名前锋 HYPERLINK http://2006./star/ronaldinho.shtml \o \t _blank 罗纳尔迪尼奥 D B A 左边线 断球后迅速沿左边线带球疾进（如图）问：他若想射门，在 C何处起脚进球的可能性最大？ C E分析：注意足球场的宽及球门的宽都是定值这一隐含条 E 件。欲使进球的可能性最大，应使∠CAD取最大值，欲求角 的最值，又需求角的一个三角函数值。 解：建立如图所示的直角坐标系，设足球场的宽为BE=米，球门的宽CD=米，（），易得BD=米。再设该球员在距离对方底线米处的A点射门时进球的可能性最大，即求为多少米时，∠CAD取得最大值。 tan∠BAD=, tan∠CAD= = 当且仅当=4x，即x=时，等号成立，此时∠CAD取最大值，此时该球员应在距离对方底线米处的A点射门时进球的可能性最大 2、直线方程另一个方面的应用：线性规划 线性规划中的可行域，实际上是二元一次不等式(组)表示的平面区域。求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设s =ax+by,则此直线往右(或左)平移时，t值随之增大(或减小)，要会在可行域中确定最优解. 例2 预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？ 分析：解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上得出的最优解不满足题设时，应作出相应地调整，直至满足题设. 先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解. 解：设桌、椅分别买x、y张，由题意得约束条件为 由 ∴A点的坐标为(，) 由 ∴B点的坐标为(25，) 所以满足约束条件的可行域是以A(，)，B(25，)，O(0，0)为顶点的三角形区域(如右图) 由图形直观可知，目标函数z=x+y在可行域内的最优解为(25，)，但注意到x∈N*，y∈N*,故取y=37. 所以应买桌子25张，椅子37张是最好选择. 3、直线方程的又一个重要应用：对称问题 中学里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于点、点关于直线或曲线关于点、曲线关于直线的对称，中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要手段。 例3 直线2x－y－4=0上有一点P，它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差最大，则P点坐标是_________. 解析：找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点. 答案：P(5，6) 4、在证明不等式中的应用 例4 已知|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1,求证：abc+2＞a+b+c. 证明：构造线段的方程为y=f(a)=(bc－1)a+2－b－c,其中|b|＜1,|c|＜1,|a|＜1,且－1＜b＜1. ∵f(－1)=1－bc+2－b－c=(1－bc)+(1－b)+(1－c)＞0 f(1)=bc－1+2－b－c=(1－b)(1－c)＞0 ∴线段y=(bc－1)a+2－b－c(－1＜a＜1＝在a轴上方，这就是说，当|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1时，恒有abc+2＞a+b+c. 5、利用直线的斜率比较大小。 例5 设M=，试比较M与N的大小。 解：将问题转化为：比较过A(－1，－1)、B(102001，102000)及过A(－1，－1)、C(102002，102001）连线的斜率大小，因为B、C两点的直线方程为y=x，点A在直线的下方，∴kAB＞kAC,即M＞N. 6、直线在数列中的应用 例6 设数列{an}的前n项和Sn=na+n(n－1)b，(n=1,2,…),a、b是常数且b≠0. (1)证明：{an}是等差数列. (2)证明：以(an,－1)为坐标的点Pn(n=1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程. 证明：(1)由条件，得a1=S1=a, 当n≥2时，有an=Sn－Sn－1=［na+n(n－1)b］－［(n－1)a+(n－1)(n－2)b］=a+2(n－1)b. 因此，当n≥2时，有an－an－1=［a+2(n－1)b］－［a+2(n－2)b］=2b. 所以