3-1a 矩阵的初等变换.ppt

二、矩阵的初等变换 三、小结 所谓一般线性方程组是指形式为 现在来讨论一般线性方程组的消元解法， 一、消元法解线性方程组 的方程组， m是方程的个数， 称为方程组的系数， ( i =1,2,…, m, j =1,2,…, n) ( j =1,2,…, m)称为常数项。 代表n个未知量， 其中 (1) 在第 i 个方程，第二个指标 j 表示它是 的系数。 的第一个指标 i 表示它 所谓方程组(1)的一个解 组成的有序数组 ，当 分别用 解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说， 求出它的解集合， 代入后，(1)中每个等式都变成恒等式。 方程组(1)的解的全体称为它的解集合， 如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的。 就是指由n个数 引例 求解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程． 解 于是解得 （B6） 例如,任给 x3＝ 1， 通过(B6) 得到 x1= 5, x2=4, x4= –3， 于是（5,4,1,-3）就是原方 程组(1)的一个解， (1)的所有解都可以通过(B6)得到， 从而，(B6)叫(1)的通解， x3叫自由未知量。 (1) (B6) (1) (B5) 由(B6)算出的（5,4,1,-3）显然是方程组(B5)的解，为什么说它是方程组(1)的解? 方程组(1)的解与方程组(B5)的解有什么关系? 问题: 小结： 1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．消元法始终把方程组看作一个整体变形，上述变形用到如下三种变换： （1）交换两个方程的位置； （2）用不等于０的数乘某个方程； （3）某个方程 k 倍后加到另一个方程上． 定义 变换(1),(2),(3)称为线性方程组的初等变换。 定理 初等变换是方程组之间的同解变换。 因此，引例中方程组(1)至方程组(B5)都是同解方程组，因而方程组(B5)的解就是方程组(1)的解。 显然(B5)的所有解都可以通过(B6)得到，所以(1)的所有解也都可以通过(B6)得到。 (B6) (1) (B5) 同解 消元法解线性方程组本质上是将一个复杂的线性方程组的求解问题转化为一个与之同解的简单线性方程组的求解问题。 问题：这个容易求解的简单线性方程组应该是怎样的形状？ 下面我们用矩阵工具讨论这个问题 (B6) (1) (B5) 同解 　因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算． 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B的变换． 所以将方程组（1）的系数分离出来， A叫做方程组（1）的系数矩阵, 记作 B叫做方程组（1）的增广矩阵 （2）用不等于0的数乘某一行； 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 将方程组的三种变换移植到矩阵中，就是对矩阵进行三种初等行变换。 （3）某一行k倍后加到另一行上去 ． （1）对调两行 ； 用矩阵的初等行变换解方程组（1）： 是自由未知量。 特点： 可划出一条阶梯线: (2). 每个台阶只有一行； 0 0 0 0 0 0 0 0 0 能马上给出通解的B5有何特点？ (3).阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，也叫做非零行的非零首元． (1).阶梯线的下方全为零； 例如 都是4×5行阶梯形矩阵 … ~ 小结：用消元法解方程组的矩阵方法是 求解线性方程组 最简行阶梯形 另外 定义了矩阵的初等行变换，同理可定义矩阵的初等列变换． 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换． 矩阵之间的等价关系具有下列性质： 特点： 注意：行最简形矩阵B5再经过初等列变换，可化成如下形状: 增广矩阵 2. 初等行(列)变换 1. 消元法解线性方程组 线性方程组 行最简阶梯形 最简线性方程组