开集、闭集、完备集.doc

2.3 开集、闭集、完备集 序 前面介绍了内点，极限点，导集，闭包的概念 的任意邻域中都含有中的点，即：。且对，，有 定理 1. 2. 3. 4. 证明 1）由导集的等价条件直接得到 2） 3) 因, 由1)知, 同理, 故; 反之, 任取 则中存在一列互不相同的点, 这一列点要么有无限个含于A (此时) 要么有无限个含于B (此时), 不管怎样, 总有, 所以, 综合起来即有结论. 4) 稠密集, 疏朗集 稠密性 定义1 若B中任意点的任意邻域中都含有A中的点, 则称A在B中稠密, 特别的, 若, 则称A是稠密集(的). 例如 Q在中稠密; 有理点(即坐标全为有理数的点)的全体在中稠密; 有理数的全体在无理数中稠密, 无理数的全体也在有理数中稠密 显然有如下的结论 定理2 A在B中稠密当且仅当, A是稠密的当且仅当 疏朗性 定义2 如果中的任意一个邻域中都包含一个子邻域与E不相交, 则称E是疏朗集(的)或无处稠密的, 也即E不在任意邻域中稠密 定理3 以下三个命题等价 E是疏朗集 不含任何邻域 是稠密集 证明 (i)(ii)反证法 假设, 按闭包的等价定义, 中任意点的任意邻域中都含有E中的点, 与疏朗集的定义矛盾. (ii)(iii) 由假设知道, 对, 和任意的, 有, 从而 ; 再由的任意性知道, 由的任意性就得到集合的稠密性. (iii)(i) 反证法 存在, 使得任意的都有, 由的任意小性知道, 再由的任意性知道, 由此知道不是稠密的. 由这个定理知道疏朗集的余集是稠密的, 但稠密集的余集不一定是疏朗的, 如Q 二 开集闭集 定义3 若E中所有的点都是内点, 则称E是开集 例如 (1) 空集和全空间都是开集 (2) 任意邻域是开集 (3) 任意开区间是开集 (4) 非空有限集不是开集 定义 4 若E包含了他的所有的极限点, 则称E是闭集 例如 (1) 空集和全空间都是开集 (2) 空有限集是闭集 三 开集闭集的性质 例题 都是闭集. 证明 1)要证, 任取则x的任意邻域中含有中的不同于x的点y, 因为, 所以在中含有E中的无限多个点, 即是说x的任意邻域中含有E中的无限多个点, 因此, 由的任意性, 知道 2) 注意到, 和导集的性质, 故 3) 证明, 则对任意的, 邻域中含有中的不同于x的点y, 因为, 所以在中含有E中的点, 也含有E外的点, 即是说x的任意邻域含有E中的点, 也含有E外的点, 所以, 从而 定理4 E是闭集E中任何收敛点列的极限属于E 证明 任取, 由闭包的等价条件知道 任取, 则存在, 由假设知道, 从而, 所以是闭集 该定理和上面的例题表明 还有 证明 任取, 邻域中含有中的点, 所以在中含有E中的点也含有E外的点, 所以, 从而 例如 则 则 定理5 证明 任取, 不妨认为 由闭包的等价条件, 任意邻域中含有E中的点, 也含有E外的点, 即是说x的任意邻域含有E中的点, 也含有E外的点, 所以, 从而; 另一方面 任取, 也不妨认为 则, 由此x的任意邻域含有E中的点, 这些点当然不同于, 故, 所以. 综上所述, 结论得证. 定理6 (1) 空集和全空间都是闭集 (2) 有限个闭集的并是闭集 (3) 任意多个闭集的交是闭集 证明 (2) 设是闭集, 则由闭性知道, , 从而任意两个闭集的交是闭集, 再对个数进行有限次归纳, 结论自然得证. (3) 设都是闭集, 则, 从而由导集的性质得到 , 所以, 结论得证 例题 (2) 中不能改为无限, 如 定理7 开集的余集是闭集, 闭集的余集是开集 证明 (1) 设E是开集, 下证明是闭集, 任取, 则的任意邻域中含中的点, 所以不是E的内点, 而E又是开集, 故不是E中的点, 从而只能属于, 即有 得证 (2) 设E是闭集, 下证明是开集, 任取, 则存在的邻域, 使得该邻域中不含中的点, 所以, 即是E的内点, 从的任意性知道是开集. 定理8 (1) 空集和全空间都是闭集 (2) 有限个开集的交是闭集 (3) 任意多个开集的并是闭集 证明 由定理7和对偶定理即得到本结论 (2)中也不能改为无限 如 推论 闭集减开集仍是闭集; 开集减闭集仍是闭集 四 有界闭集的性质 定理9 有界闭集E中的任意点列都有收敛到其自身的子列 证明 这由Bolzano-Weierstrass定理和集合的闭性直接得到 引入覆盖的概念, 若 则称是E的一个覆盖 如是有限集, 则称为有限覆盖, 类似的有可数覆盖, 无限覆盖 如果每个都是开集则称为开覆盖, 类似的有开区间覆盖 如果, 且是E的一个覆盖, 此时称是的一个子覆盖, 如果子覆盖同时又是有限的, 则称为有限子覆盖 定理10 有界闭集E