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历年全国高中数学联赛试题及答案(98-06)
1988年全国高中数学联赛试题 第一试(10月16日上午8∶00——9∶30) 一.选择题(本大题共5小题,每小题有一个正确答案,选对得7分,选错、不选或多选均得0分): 1.设有三个函数,第一个是y=φ(x),它的反函数是第二个函数,而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称,那么,第三个函数是( ) A.yφ(x) B.yφ(-x) C.yφ-1(x) D.yφ-1(-x) 2.已知原点在椭圆k2x2+y2-4kx+2ky+k2-1=0的内部,那么参数k的取值范围是( ) A.k|1 B.k|≠1 C.k1 D.k|1 3.平面上有三个点集M,N,P: M={(x,y)| |x|+|y|1}, N={(x,y)| +2}, P={(x,y)| |x+y|1,|x|1,|y|1}.则 A.MPNB.MNPC.PNMD.AB、C都不成立 4.已知三个平面α、β、γ,每两个之间的夹角都是θ,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c.若有 命题甲:θ; 命题乙:a、b、c相交于一点. 则 A.B.C.D.AB、C都不对 5.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点叫做整点,我们用I表示所有直线的集合,M表示恰好通过1个整点的集合,N表示不通过任何整点的直线的集合,P表示通过无穷多个整点的直线的集合.那么表达式 ⑴ M∪N∪P=I; ⑵ N≠?. ⑶ M≠?. ⑷ P≠?中,正确的表达式的个数是 A.B.C.D.x≠y,且两数列x,a1,a2,a3,y和b1,x,b2,b3,y,b4均为等差数列,那么= . 2.(+2)2n+1的展开式中,x的整数次幂的各项系数之和为 . 3.在△ABC中,已知∠A=α,CD、BE分别是AB、AC上的高,则= . 4.甲乙两队各出7名队员,按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛,双方先由1号队员比赛,负者被淘汰,胜者再与负方2号队员比赛,……直至一方队员全部淘汰为止,另一方获得胜利,形成一种比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程的种数为 . 三.(15分)长为,宽为1的矩形,以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周,求得到的旋转体的体积. 四.(15分) 复平面上动点Z1的轨迹方程为|Z1-Z0|=|Z1|,Z0为定点,Z0≠0,另一个动点Z满足Z1Z=-1,求点Z的轨迹,指出它在复平面上的形状和位置. 五.(15分)已知a、b为正实数,且+=1,试证:对每一个n∈N*, (a+b)n-an-bn≥22n-2n+1. 1988年全国高中数学联赛二试题 一.已知数列{an},其中a1=1,a2=2, an+2= 试证:对一切n∈N*,an≠0. 二.如图,在△ABC中,P、Q、RP、Q在AB边上,求证:. 三.在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多直线l1,l2,……,ln,…的直线族,它满足条件: ⑴ 点(1,1)∈ln,(n=1,2,3,……); ⑵ kn+1=an-bn,其中kn+1是ln+1的斜率,an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距,(n=1,2,3,……); ⑶ knkn+1≥0,(n=1,2,3,……). 并证明你的结论. 1992年全国高中数学联赛试卷 第一试 一.选择题(每小题5分,共30分) 对于每个自然数n,抛物线y(n2+n)x2((2n+1)x+1与x轴交于An,Bn两点,以|AnBn|表示该两点的距离,则|A1B1|+|A2B2|+(+|A1992B1992|的值是( )(A) (B) (C) (D) 已知如图的曲线是以原点为圆心,1为半径的圆的一部分,则这一曲线的方程是( )(A)(x+)(y+)=0 (B)(x()(y()=0(C)(x+)(y()=0 (D)(x()(y+)=0 设四面体四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,它们的最大值为S,记=/S,则一定满足( )(A)2≤4 (B)34 (C)2.5≤4.5 (D)3.55.5 在△ABC中,角A,B,C的对边分别记为a,b,c(b(1),且都是方程=logb(4x(4)的根,则△ABC( )(A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形(C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形 设复数z1,z2在复平面上对应的点分别为A,B,且|z1|=4,4z12(2z1z2+z22=0,O为坐
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