概率统计基础概率一一维随机变量及其分布1基本概念.PDFVIP

第二章 概率统计基础 一、概率 一）一维随机变量及其分布 1、基本概念 假定我们掷硬币 10 次并计算正面朝上的次数，这是随机试验（experiment）的一个例子。 一般地，随机试验（experiment ）至少在理论上是一个可以被无限次重复，而且有 well-defined 系列结果的任一过程。比如，我们可以重复这个掷硬币的过程，在掷硬币之 前，我们知道正面朝上的次数肯定取 0 到 10 之间的整数，所以这个随机试验的结果被 well-defined。 随机变量可以取一定的数值，而且这个数值由随机试验的结果所决定。在掷硬币的例子中， 10 次掷硬币中正面朝上的次数就是一个随机变量。在掷硬币10 次之前，我们不知道正面朝 上的次数是多少，一旦我们掷了 10 次，我们就可以得到这个随机变量－正面朝上次数的结 果，再掷10 次又有不同的结果。 通常我们用大写字母来表示随机变量，如X,Y,Z，随机变量的取值则用小写字母表示，如x， y，z。比如用 X 来代表 10 次掷硬币正面朝上的次数这个随机变量，X 的取值将是{0, 1,2,…,10}，一个特别的结果比如x=6。 随机变量总是取相应的数值，即使它们描述的可能是一个定性事件。比如掷一次硬币，有两 种结果：正面朝上或反面朝上。我们可以定义随机变量：假如正面朝上，X=1；假如反面朝 上，X=0。一个只取0 和1 值的随机变量称为贝努里随机变量（Bernoulli, or binary, random variables）。通常我们也称X=1 代表success，X=0 代表failure。 把只取少数或者最多可列多个值的随机变量称为离散随机变量（discrete random variable）。 取值充满整个数轴或者某个区间的随机变量称为连续随机变量（continuous random variable）。 2 、一维离散型随机变量及其分布 1）离散随机变量的概率分布 概率分布表形式（或分布律）： X x1 x2 … xk …（构成完备事件组） P p1 p2 … p k … 1 概率函数形式： P (X xk ) pk (k 1, 2,) 称为X 的概率分布（或分布律）。 也记为 x1 x 2 xk  X ∼  p 1 p 2 p k  2）分布函数 设X 是一个随机变量，对于任意实数x −∞x +∞ ，函数F x P X ≤x 称为X 的 ( ) ( ) ( ) 分布函数。 对离散型随机变量，采用累加的方法求其分布函数，则有公式： F x P X =≤x P X x p ( ) ( ) ∑ ( k ) ∑ k x ≤x x ≤x k k 当X 取有限个值x1 x 2 xn 时（x1 x 2 xk 类似表示）  0 x x1  ≤ p 1 x1 x x 2 =+ ≤ F x p p x x x ( )  1 2 2 3    1 x ≤x  n 3、一维连续型随机变量及其分布 x 对于任何实数x，如果随机变量X 的分布函数F x 可以写成F x ϕ t dt ，其中ϕ x