空间旋转体表面积体积.docVIP

名称 侧面积(S侧) 全面积(S全) 体 积(V) 棱 柱 棱柱 直截面周长×l S侧+2S底 S底·h=S直截面·h 直棱柱 ch S底·h 棱 锥 棱锥 各侧面积之和 S侧+S底 S底·h 正棱锥 ch′ 棱 台 棱台 各侧面面积之和 S侧+S上底+S下底 h(S上底+S下底+) 正棱台 (c+c′)h′ 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 S侧 2πrl πrl π(r1+r2)l S全 2πr(l+r) πr(l+r) π(r1+r2)l+π(r21+r22) 4πR2 V πr2h(即πr2l) πr2h πh(r21+r1r2+r22) πR3 1一个体积为的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 2在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 A、 B、 C、 D、 3等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是__(填”大于、小于或等 例1．一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm 依题意得： 由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x2+y2+z2=16 即l2=16 所以l=4(cm)。 2一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（ ） A．2 B．3 C．6 D． 解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b＝，c＝，则对角线l的长为l=；答案D。 12已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长.____ _。 解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2＝Sh。 ∵E、F分别为AB、AC的中点， ∴S△AEF=S, V1=h(S+S+)=Sh V2=Sh-V1=Sh， ∴V1∶V2=7∶5。 例5．（2006上海，19）在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60，求四棱锥P－ABCD的体积？ 解：（1）在四棱锥P-ABCD中由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角∠PBO=60°。 在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO于是PO=BO60°=，而底面菱形的面积为2∴四棱锥PABCD的体积V=×2×=2 B． C． D． 解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h=2πr. ∴S全=2πr2+（2πr）2=2πr2（1+2π）.S侧=h2=4π2r2， ∴。答案为A。 例12．（2003京春理13，文14）如图9—9，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则= 。 解析：水面高度升高r，则圆柱体积增加πR2·r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有πr3=πR2r。故。答案为。 例13．在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图所示）， 若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是 A．π B．π C．π D．π （2）（2001全国文，3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是（ ） A．3π B．3π C．6π D．9π 解析：（1）如图所示，该旋转体的体积为圆锥C—ADE与圆锥B—ADE体积之差，又∵求得AB=1。 ∴，答案D。 （2）∵S＝absinθ，∴a2sin60°＝， ∴a2＝4，a＝2，a=2r， ∴r＝1，S全＝2πr＋πr2＝2π＋π＝3π，答案A。 例14．如图所示，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 解析：如图所示，由题意知，πr2h＝πR2h， ∴r＝． 又△ABO∽△CAO， ∴，∴OA2＝r·R＝， ∴cosθ＝，答案为D。 例15．已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积。 解：设截面圆心为，连结，设球半径为， 则， 在中，， ∴， ∴， ∴。 例17．如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积