数学第六章复习.pptVIP

1、如图，已知AD∥BC，E是DC上一点，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC。求证：AB=AD+BC。 A D B C E A D B C E F 方法1、 在AB上截取AF=AD，连接EF。 由AE平分∠DAB且有公共边AE 可得⊿ADE≌ ⊿AFE ∴ ∠ADE= ∠AFE ∵AD∥BC ∴ ∠ADC+∠DCB=180° 由∠AFE+∠BFE=180° 可得∠BFE=∠BCE 又∵BE平分∠ABC，BE=BE ∴⊿BFE≌⊿BCE ∴BF=BC ∴AB=AD+BC A C D M 方法2、延长AE、BC相交于点M ∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠BAE 又∵AD∥BC，∴∠DAE=∠M，即∠BAE=∠M 在⊿BAM中，由等角对等边，得 BA=BM ∵BE平分∠ABC，由等腰三角形中顶角的平分线就是底边上的中线，得AE=ME 易证⊿ADE≌⊿MCE，可得AD=MC，∴AB=MB=MC+BC=AD+BC B 2、在⊿ABC中，求证：若ABAC，则∠C∠B若∠C∠B，则ABAC A B C 证明：如图，∵ABAC，故可以在AB上截取AD=AC，连结CD，则∠ACD=∠ADC ∵∠ADC∠B ∠ACB∠ACD ， ∴∠ACB∠B A D B C 如图，∵∠C∠B，故可以在∠ABC内作∠BCD=∠B，CD交AB于点D，则 BD=CD ∵在⊿ACD中，AD+CDAC，∴AD+DBAC，即ABAC A D B C 3、如图，在⊿ABC中，AB=AC，P是⊿ABC内任意一点，已知∠APC∠APB，求证：PBPC A B P C 证明：∵AB=AC，∴可将绕点旋转到的位置，连结PD、AD、CD，则AP=AD，PB=DC，∠ADC=∠APB ，∵∠APC∠APB，∴∠APC∠ADC由AD=AP，可得∠ADP=∠APD，则∠DPC∠PDC 根据上道题的结论可得到DCPC，即PBPC A B C D P 4、如图，以⊿ABC的AB、AC为边向三角形外作等边⊿ABD、⊿ACE，连结CD、BE，相交于点O 求证：OA平分∠DOE D A E B C O 证明：∵⊿ABD、⊿ACE是等边三角形，∴AB=AD，AE=AC，∠CAE=∠BAD=60°，则∠BAE=∠DAC，∴⊿BAE≌⊿DAC， 则有∠ABE=∠ADC，∠AEB=∠ACD，BE=DC 在DC上截取DF=BO，连结AF ，证得⊿ADF≌⊿ABO，⊿ACF≌⊿AEO 由AF=AO，得∠AFO=∠AOF；由∠AOE=∠AFO，可得∠AOF=∠AOE即OA平分∠DOE D B A E C O F 5、如图，已知等边⊿ABC，分别延长BA到E、BC到D，使AE=BD 求证：ED=EC E A B C D 证明：方法1、延长BD到F，使DF=BC，连EF ∵⊿ABC是等边三角形，∴∠B=60°，且AB=BC=CA=DF 又∵AE=BD，DF=BC，∴BE=BF，⊿BEF是等边三角形 即∠F=60°，且BE=FE 易证，⊿EBC≌⊿EFD ∴EC=ED E A B C D F 方法2、如图，过D作DF∥CA交BE于F，由题意得，⊿FBD是等边三角形 在⊿ACE和⊿FED中，易证∠CAE=∠EFD=120°，AC=BC=BD-CD=AE-AF=FE,AE=BD=FD，∴⊿ACE≌FED，∴EC=ED E F A B C D 6、如图，已知等边三角形ABC内的任意一点P，过P分别作AB、BC、AC的垂线，垂足为D、E、F 求证：不论点P在何处，PD+PE+PF的值为AM A B C D F M E P 证明：连结PA、PB、PC，S⊿ABC=S⊿PAB+S⊿PBC+S⊿PAC 而S⊿ABC=?BC·AM，S⊿PAB=?AB·PD，S⊿PBC=?BC·PE ，S⊿PAC=?AC·PF，∴ ?BC·AM= ?AB·PD +?BC·PE+ ?AC·PF 又∵BC=AC=AB，∴PD+PE+PF=AM A B C D F M E P 7、如图，已知BD、CE分别是⊿ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上， 求证：(1)AP=AQ (2)AP⊥AQ A E B Q F D P C 证明：∵BD⊥AC,CE⊥AB, ∴∠CDF=∠BEF=90°又∵∠BFE=∠CFD, ∴∠ABP=∠QCA又∵AB=QC,BP=AC, ∴⊿ABP≌⊿QCA ∴AP=AQ∵⊿ABP≌⊿QCA, ∴∠QAC=∠APB又∵∠APB+∠PAD=90° ∴∠QAC+∠PAD=90°∴∠QAP=90° 即AP⊥AQ A E B Q F D P C