弹性力学简明教程第四章(1,2,3,4).pptVIP

第四章 平面问题的极坐标解答 4-1 极坐标下的平衡方程 二．极坐标中应力分量，体力分量的表示 研究构件在极坐标中的应力状态：取一微元体［用一对r坐标线和一对?坐标线］ 三.平衡微分方程 可以通过坐标变换直接由直角坐标下的平衡微分方程（2-2）得到，为了较深对积坐标下的应力应变的理解这里仍旧单元体的平衡推导。 §4.2 极坐标中的几何方程及物理方程 一、极坐标中的应变分量与位移分量： 二. 几何方程 （1）位移分两步 第二步 ：在第一步的基础上：PA,PB只有环向位移（不考虑径向位移） （2）叠加后，总的径向、环向应变、剪应变为 几何方程 三. 物理方程 由于极坐标也是正交坐标系，故物理方程形式不变： 4-3 极坐标中的应力函数与相容方程(A) 一.平面直角坐标系中，体积力为常数 二. 极坐标下的相容方程 §4.4 应力的座标变换 一.坐标的旋转变换 三.极坐标下的应力 比较 1.应力分量（采用应力函数表示，不计体力） 2.相容方程：（采用应力函数，不计体力） 3. 在略去体力分量按应力求解平面问题时，可归结为根据（4-6）求出应力函数，然后根据（4-5）求应力 ，并满足位移单值条件，在边界上满足应力边界条件。 * 一．极坐标与直角坐标系 P x y o y x r ? 直角坐标 P(x,y) 极坐标 r－径向，?－极角 求解平面问题时，对于圆，楔，扇型构件，因为极坐标使其边界与坐标线一致，因而使边界条件简单，使问题易于求解。 P(r，?) 记号：应力分量 ?? ? ? r ?? ? ? r ?r kr k? ?r? ?r ?r? ? d? 0 kr k? ?? ?r? ? ? r ?? ? ? r ?r ?r ?r? dr d? ? 0 P A C B x y 由 ?r? ?r kr k? ?? ? ? r ?r ?r? ? ? r y ? P A C B d? 0 x ?? dr （4—1） 1、应变分量： 2、位移分量 欲研究平面弹性体在极坐标下的变形，选取径向线段 PA=dr, 研究。 ur A A dr P y ? 0 x d? r B p B 各点坐标为 各点位移列表 点 径向位移 环向位移 0 0 0 P A B ur 由径向位移产生的应变分量： 径向线PA的正应变： (a) 环向PB的正应变 ： (b) 0 B P p A B ? x y d? r dr A B1 径向PA的转角： (c) 环向线PB的转角： (d) 故剪应变: (e) ur 0 B P p A B ? x y d? r dr A B1 β 径向线P’A’线应变： (f) ? dr P A B d? r o x y u? A2 P A B A1 0 0 0 点 径向位移 环向位移 d? ? P A dr B P A B r u? 环向P‘B‘线应变： 0 x y (g) 径向线PA转角： 环向线PB的转角： (h) A2 A1 ω ? 剪应变： （4-2） 是由径向位移产生的环向应变； 是由环向位移产生的刚体转动角度； 平面应力： （4-3） 平面应变： （4-4） 1、应力表示的相容方程： （2-22） 2．应力函数表示的相容方程：（2-24） 应力分量： （2-23） 在极坐标下对x和y的方向导数 极坐标相容方程 x y r 二.应力的坐标变换 x y r o 与 可得 可证明: 当 时,(4-5)能满足平微方程(4-1) (4-5) 小结： （4—5） （4-6） * * * * *