2.1.3函数的解析式Microsoft Word 文档.docVIP

2.1.3 函数的解析式 郸城一高 杨培军 一、基础知识 1、函数解析式：函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成的式子叫解析式，解析式亦称“解析表达式”或“表达式”，简称“式”。 （注意分段函数） 求函数解析式的方法：（1）待定系数法、（2）配凑法、(3)换元法、(4)代入法、(5)构造方程组法、(6)赋值法、(7)递推法 （8）参数法 （9）实际问题 二、高考要求 1.能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式； 2.会进行函数三种表示方法的互化，培养学生思维的严密性、多样性. 三、知识点归纳 1.函数的三种表示法 （1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式. （2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 2.求函数解析式的题型有： （1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； （2）已知求或已知求：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式； （4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法； （5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等． 四、典例探析 Ⅰ、待定系数法：待定系数法是求函数解析式的基本方法，适用于函数类型已知，解题时可以先根据函数类型设出含有待定系数的解析式，然后通过恒等式性质或已知条件建立方程组，求出或消掉待定系数。 注意二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式。 例1.设是一次函数，且，求 解：设 ，则 例2.设二次函数f(x)满足对称轴是x=2,图像过（0，3），且方程f(x)=0的两实根平方和等于10，求f(x)的解析式。 解：设f(x)=ax2+bx+c,依题意得c=3,b=-4a,由方程f(x)=0的两实根平方和等于10得： （）2=10，解得：a=1,b=-4,c=3,因此f(x)= x2-4x+3 例3．已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数．又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值． ①证明：；②求的解析式；③求在上的解析式． 解：∵是以为周期的周期函数，∴， 又∵是奇函数，∴， ∴． ②当时，由题意可设， 由得，∴， ∴． ③∵是奇函数，∴， 又知在上是一次函数，∴可设，而， ∴，∴当时，， 从而当时，，故时，． ∴当时，有，∴． 当时，，∴ ∴． 练习1.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(－1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式. 解：由f(1)=a+b+c,f(－1)=a－b+c,f(0)=c 得 并且f(1)、f(－1)、f(0)不能同时等于1或－1，所以所求函数为：f(x)=2x2－1或f(x)=－2x2+1或f(x)=－x2－x+1或f(x)=x2－x－1或f(x)=－x2+x+1或f(x)=x2+x－1. 2.已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的表达式． 解　(1)由题意可设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则 a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1 ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1 ∴解得a＝，b＝. 因此f(x)＝x2＋x. Ⅱ、配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。 例4.已知 ，求 的解析式 解：， Ⅲ、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例5.已知，求 解：令，则， 例6.已知函数f(x)满足f(logax)= (其中a0,a≠1,x0),求f(x)的表达式. 解：(1)令t=logax(a1,t0;0a1,t0),则x=at. 因此f(t)= (at－a－t) ∴f(x)= (ax－a－x)(a1,x0;0a1,x0) 练习1.已知f(3x+1)=9x2-6x+5, 求f(x)的解析式。 解：令t=3x+1,得x=,则f(t)=9（）2-6+5=t2-4t+8,因此f(x)=x2-4x+8。 2.已知f()=2x+1, 求f(x)的解析式。 解：令t=，得x=，则f(t)=2+1=（t1）， 因此f(x)= （x1） 〖说明〗注意定义域的范围。 Ⅳ、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例7.已知函数，，求和的