量子物理的数学和哲学基础-科学网.PDF

第 1 页 共 37 页 量子物理的数学和哲学基础 （鲁学星2016/12/30） 研究工作进行一年了，有很多基本的进展。我们主要在四个方面取得进 展。前三个进展都是紧紧围绕着费曼图或者箭图 （quiver）的自然的数 学和物理意义展开的。第四个进展是关于量子基础方面的，具体的讲， 就是提出了一种改进惠勒的延迟选择实验的思路，并可能用来实现新的 量子通信方案 （未来光子通信）。前三个方面的进展分别是 universal 弦网凝聚，费曼流形的表示以及upward平面图的组合与拓扑理论。其 中前两个进展都是关于图嵌入技巧的数学理论，我们可以分别用图嵌入 技巧来研究张量范畴 （或者费曼流形）和阿贝尔范畴。用图嵌入技巧研 究规范理论并且把它代数化，我们得到了universal弦网凝聚理论。用 图嵌入技巧研究阿贝尔范畴，我们获得了对于阿贝尔范畴上的非交换辛 几何的一个概念性理解，包括几何表示论和代数表示论的一些核心构造 （阿贝尔 三角/ /DG范畴上的内蕴对称性/Ringel-Hall Hopf 代数， Quiver的表示理论，量子群及其表示的几何实现，motivic技术，范畴 08 - 化，几何朗兰兹对偶），以及 年康塞维奇 苏泊曼提出的公理化穿墙 wallcrossing formula , BPS 公式 （ ） 超对称场论中的 结构和可积系 统的之间的关系。这一理论我们认为是一个正确的费曼流形的表示理论 （详见后文分析）。前两个理论的最关键的机制在于图嵌入技巧背后的 函子性，这种函子性是我们最想揭示的内容。我们强调这些问题都联系 于量子场论的数学定义，需要一种严格的数学方法处理无限维的数学对 象 （比如：联络模空间，张量范畴，Hallstack，阿贝尔范畴），图嵌 入技巧和Kan扩张提供了处理无穷维问题的新思路。第三个方面的进 展，即upward平面图的组合和拓扑理论，它的研究也会对理解quiver 上的拓扑序有重要意义。 在数学上， universal弦网凝聚理论是关于张量范畴和张量流形的几何 量子物理的数学和哲学基础 （鲁学星） 第 2 页 共 37 页 理论； 在物理上 （目前的讨论，主要都是在formal的层次上），它是 关于非微扰规范理论的理论，和格点规范理论，圈量子引力和弦网凝聚 理论，以及时空和物质的演生有关。 在数学上，费曼流形的表示理论是关于阿贝尔范畴的微分几何理论，它 Hallstack K Auslander 联系于 ， 群，量子对称性，辫子群的表示， – ReitenQuiver， （derived）extquiver，coalgebraenrichment， cluster 代数，模空间的量子化； 物理上，它是关于超对称规范理论中 的 BPS结构的理论，它联系于各种超对称场论 （超对称量子力学，超 对称规范理论，超弦理论，超引力，M理论）中的BPS态的研究，场论 中的紧化 （克鲁扎-克莱因机制），quiver 规范理论等等。 Baez 的图嵌入技巧[J.Baez, Spin networks in gauge theory, advances in mathematics 117, 253-272(1996)]是一种特殊的投 射技术 （ProjectiveTechniques）。投射技术一个研究无穷维空间上 的拓扑和测度的 （数学上严格的）常用技术。最早数学家用这个方法来 发展无穷维局部凸拓扑线性空间上的测度理论，后来圈量子引力学家发 展了相应的非线性版本的理论，并用来发展非微扰规范理论。Baez则 把这一方法具体化为图嵌入技巧，从数学上严格的解释了罗威利和斯莫 林在圈量子引力方面的奠基性工作，即自旋网络构成了圈量子引力的一 组自然的标准正交基 （也是几何谱）。 鉴于整个框架比较庞大，涉及的范围比较广，而且理论的很多细节还有 待揭示，我们要特别强调最核心的想法，也是其中最稳健的数学机制， 那就是： 自旋网络和quiver量子力学的函子性以