结点逻辑关系任意的非线性结构——图.PDFVIP

第 6 章 结点逻辑关系任意的 非线性结构——图 【主要内容】 图的逻辑结构定义 图的存储结构 图的遍历 图的应用——最小生成树、最短路径、拓扑排序与关键路径 【学习目标】 熟练掌握图的逻辑结构特点 掌握图的存储结构 掌握图的遍历 熟悉图的相关应用 数据结构中的图，结点间的对应关系是多多对应的，这也是一种经典的结构。从广义上 说，所有的结点与其间的联系都可以看做是图。 6.1 实际问题中的图及抽象 在很多问题中，信息对象及对象间的联系在抽象后可以用图形表示，比如第 1 章中的 交通灯问题。需要注意的是，数据结构中的图不是几何平面中的图的概念，而是拓扑意义 上的图。 【知识ABC 】拓扑的相关概念 拓扑学（Topology ）是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立 体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它 们的度量性质。拓扑学研究几何图形在连续变形下保持不变的性质（所谓连续变形，形象 地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合）；现在已发展成为研究连续性现象 的数学分支。 拓扑学的最简单观念产生于对周围世界的直接观察。直观地说，关于图形的几何性质探 讨，不限于它们的“度量”性质（长度、角度等）方面的知识。拓扑学探讨各种几何形体的 性质，但是其内容却与几何学的范畴不尽相同，多数的讨论都是围绕在那些与大小、位置、 形状无关的性质上。 例如，地铁线路图就是应用了拓扑学的原理。我们乘车查线路图，只要找到上车站和下 车站、具体可以走哪条线路、中间会有几站即可，至于地铁图上的具体线路，就不必理会。 ·300 ·数据结构与算法分析新视角 在查图的这个问题中，我们只关心点与点之间相互是否有连接的属性，而完全忽略了它们作 为一个实体的大小形状和空间距离。 在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这 两个图形叫做全等形。但在拓扑学中，无论图的大小或者形状怎么变化，只要其中点和线的 数量不变，它们就是等价图，如图6.1 所示，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓 扑变换下，它们都是等价图形。 在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变，见图6.2。 图6.1 拓扑等价图 图6.2 拓扑变换魔术 我们先来看一些图的实际例子。 图引例 1——地图染色问题 1852 年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研 单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅 地图都最多可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着 上不同的颜色”，如图 6.3 所示。 这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？当时的著名数 学家德·摩尔根、哈密尔顿都没有解决这个问题。在其后的一百 多年里，大量的数学家都试图证明这个问题，但都没有结果，直 图6.3 地图染色问题 到 1972 年，在计算机的帮助下四色猜想最终才得以证明。 【知识ABC 】四色猜想与四色定理 1872 年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了四色猜想问题，于是 这个猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大 会战。1878 年到 1880 年两年间，著名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想 的论文，宣布证明了四色定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错 误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目， 其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。 进入20 世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上按照肯普的想法在进行。电子计算 第 6 章 结点逻辑关系任意的非线性结构——图 ·301 · 机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的 进程。1976 年，美国数学家阿佩尔（Kenneth Appel ）与哈肯（Wolfgang Haken ）在美国伊利 诺斯大学两台