工程数学模型及数值方法第三章.pptVIP

样条插值 2、m连续方程与 的表达式 记 在区间 上采用Hermite插值 的计算方法： 对 两边求导（微分2次） 样条插值 样条插值 样条插值 两者相等得到方程组： 其中 同前 写成方程组的形式： n-1个方程 n+1个未知数 三转角方程 上述方程组称为 的m连续方程 样条插值 M、m连续方程的求解：需要补充附加条件 样条插值 3、边界条件 ? 已知端点的斜率： ? 已知端点的二阶导数： ? 设 是以 为周期的周期函数，对 附加周期性条件： 即要求三次样条插值函数在端点处函数值、一阶导数值和二阶导数值相同。 M连续方程在各类边界条件下的求解方法 ?对于第一类边界条件 由 得 样条插值 从而得到方程组（三对角）： 可用追赶法求解 样条插值 样条插值 ?对于第二类边界条件 类似地可以得到方程组（三对角）： 上述两种情况得到的方程组，可以写成统一形式： 其中 时为第二类边界条件 时为第一类边界条件 样条插值 样条插值 ?对于第三类边界条件 得到方程 其中 样条插值 第三类边界条件对应的方程组： 对三对角算法经过修改后可以求解上述方程组 不是三对角方程组 样条插值 注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点处的函数值）；而Hermite插值依赖于f 在许多插值节点的导数值。 f(x) H(x) S(x) 0 1 2 3 0 2 3 6 1 0 例1：已知函数 在的 数据表： 解： 求 在区间 上的三次样条插值函数。 样条插值 样条插值 三弯矩方程组 用追赶法求解方程组得 样条插值 三次样条插值函数 样条插值 样条插值 三、三次样条函数的性质 性质1（极小模性质） 设 是任一被插函数， 是自然三次样条插值函数，则成立 式中等号当且仅当 时成立。 性质2（最佳逼近性质） 设 是任一被插函数， 是带有斜率边界条件三次插值样条函数， 是与 有相同分割的任一三次样条函数，则有 性质3（误差估计） 设函数 ， 是区间 的一个分割， 是 关于 的带有Ⅰ型(斜率边界)或Ⅱ型(二阶导数边界)边界条件 的插值函数，则有误差估计 其中 是分割比，并且系数 与 是最优估计。 说明：三次样条插值函数本身连同它的一、二、三阶导数分别收敛到 及其相应导数，具有强收敛性。 样条插值 思考 * * * * 埃尔米特插值 从而得到插值基函数 类似地，可求得另一组插值基函数 因此， 全导数的Hermite插值多项式 其中 埃尔米特插值 x0 x1 x2 x3 x4 x H9(x) ? f(x) 全导数的Hermite插值多项式的几何意义 如n=1时，Hermite插值多项式 为 埃尔米特插值 全导数的Hermite插值多项式的存在唯一性和余项 埃尔米特插值 满足前述插值条件的不超过2n+1次的插值多项式 是唯一存在的。 定理1： 设被插值函数 在区间[a, b]上有2n+1阶连续 导数， 在区间（a, b）内存在, 是 关于互异节点 的满足前述插值条 件的不超 过2n+1次的插值多项式，则对 有 定理2： 0 1 2 1 2 3 -1 0 1 应用Hermite插值计算 的近似值。 例1：已知函数 在点