【2018年必威体育精装版整理】桥梁结构振动与稳定分析研究报告.docVIP

东南大学(2014～2015)年第一学期 桥梁结构振动与稳定分析研究报告 成 绩： 姓 名： 高明天 学 号： 145511 专 业： 桥梁与隧道工程 授课教师： 万 水 日 期： 2015年1月 目录 2薄板的振动理论及应用 2.1薄板的自由振动 薄板自由振动的一般问题是这样提出的：在一定的横向荷载作用下处于平衡位置的薄板，受到干扰力的作用而偏离这一位置，当干扰力被除去以后，在该平衡位置附近作微幅振动。（1）试求薄板振动的频率，特别是最低频率。（2）设已知薄板的初始条件，即已知处挠度及初速度，试求薄板在任意瞬时的挠度。 设薄板在平衡位置的挠度为，这时，薄板所受的横向静荷载为。则薄板的弹性曲面微分方程为： （a) 式（a)标示：薄板每单位面积上所受的弹性力和它所受的横向荷载q成平衡。 设薄板在振动过程中的任意瞬时t的挠度为，则薄板每单位面积上在该瞬时所受的弹性力，将与横向荷载q及惯性力成平衡，即 （b) 薄板的加速度是，因而每单位面积上的惯性力是 其中为薄板每单位面积内的质量（包括薄板本身的质量和随同薄板振东的质量），则式（b）可以改写为 (c) 将式（c）与式（a)相减，得到 由于不随时间改变，，所以上式可以改写成为 (d) 命薄板在任意瞬时的挠度为，而式(d)成为 或 （2-1） 这就是薄板自由振动的微分方程。 微分方程(2-1)有如下形式的解答： （2-2） 在这里，薄板上每一点(x,y)的挠度，被标示成为无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐振动的频率是。另一方面，薄板在每一瞬时t的挠度，则被标示成为无数多钟振形下的挠度相叠加，而每一种振形下的挠度是由振形函数标示的。 为了求出各种振形下的振形函数，以及与之相应的频率，我们取 代入式(2-1),然后消去因子，得出所谓振形微分方程 （2-3） 如果由这一微分方程求得W的满足边界条件的非零解，即可由关系式 （e） 求得相应的频率。自由振动的频率，称为自然频率或固有频率，它们完全决定于薄板的固有特性，而与外来因素无关。 实际上，只有当薄板的为常量时，才有可能求得函数形式的解答。这时，命 （2-4) 则方程（2-3)简化为常系数微分方程 （2-5） 现在就可能比较简便地求得W的满足边界条件的、函数形式的非零解，从而求得相应的值，然后再用（2-4）式求出相应的频率。将求出的那些振形函数及相应的频率取为及，代入表达式（2-2），就有可能利用初始条件求得该表达式中的系数及。 设初始条件为 则由（2-2）式得 于是可见，为了求得及，必将已知的初挠度及初速度展为的级数，这在数学处理上是比较困难的。因此，只有在特殊情况下，才有可能求得薄板自由振动的完整解答，即任一瞬时的挠度。在绝大多数的情况下，只能求得各种振形的振形函数及相应的频率。 2.2四边简支的矩形薄板的自由振动 取振形函数为 （2a） 其中m及n为整数，可以满足边界条件，代入（2-5）式，得 图2-1 为了这一条件在薄板中面上的所有各点都能满足，也就是在x和y取任意值时都满足，必须有 （2b） 将式（b）代入（2-4）式，得出自然频率的公式 （2c） 命m及n取不同的整数值，可以求得相应于不同振形的自然频率 （2-6） 当薄板以这一频率振动时，振形函数为 而薄板的挠度为 （2d) 则薄板在自由振动中任一瞬时的总挠度为 （2e) 初挠度及初速度标示成振形函数的级数为： （2f) 按照级数展开的公式，有 （2-7） 根据初始条件 由式（2e)及式（2f)得 由此得 代入式（2e),即得完整的解答如下： （2-8） 2.3两对边简支的矩形薄板的自由振动 设薄板的x=0及x=a的两边为简支边。取振