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西南交通大学 第3章 直线的投影 3.1 直线对投影面的各种相对位置 1、正平线的投影特性 3.2 直线与点的相对位置 直线上的点 3.3 两直线的相对位置 一、平行两直线 注意 二、相交两直线 三、交叉两直线 例1：判断并填写两直线的相对位置 四、直角投影定理（垂直两直线） 3.4 一般位置线段实长及其与投影面的夹角 求一般位置线段的实长及其与H面的夹角a 求一般位置线段的实长及其与V面的夹角?? 求一般位置线段的实长及其与W面的夹角? 例4：试作一直线GH与已知直线AB、CD相交， 　　 同时与EF平行（点G在AB上，点H在CD上） 垂直两直线的投影通常不能反映其夹角的实形，但在一些特殊条件下，也能反映其真实直角，这种投影特性称为直角投影定理。 直角投影定理的逆定理仍成立 定理一：空间两直线垂直（相交或交叉），如果其中一条直线是某一投影面的平行线时，则这两直线在该投影面上的投影互相垂直。 定理二：如果两直线的某一投影垂直，其中有一直线是该投影面的平行线，那么该空间两直线垂直。 例4：求两直线AB、CD之间的最短距离 直角三角形方法的作图要领: 1.以线段一投影(如水平投影)的长度为直角边。 2.以线段的两端点相对于该投影面(如水平投影面)的距离差 为另一直角边，该距离差可在线段的另一投影上量得。 3.所作直角三角形的斜边即为线段的实长。 4.斜边与该投影(如水平投影)的夹角为线段与该投影面的夹 角。 实长 实长 实长 直角三角形ABC中： 斜边AB=AB实长 直角边BC=b?c? =? Z 直角边AC=ab ?Z α角:ab与实长AB的夹角 ?Z ?Z ?Z 直角三角形 实长 直角三角形ABD中： 斜边AB=AB实长 直角边DA=ad =? Y 直角边BD=a?b? β角:a?b?与实长AB的夹角 ?Y 实长 ?Y ?Y 直角三角形 直角三角形ABD中： 斜边AB=AB实长 直角边AE=ae =? X 直角边BE=a??b?? γ角: a??b??与实长AB的夹角 实长 ?X ?X 直角三角形 * 3.1 直线对投影面的各种相对位置 3.2 直线与点的相对位置 3.3 两直线的相对位置 3.4 一般位置线段实长及其与投影面的夹角 直线的投影一般仍为直线，特殊为一点。 由于两点确定一条直线，因此连接直线上的两端点的各组同面投影，就得到直线的投影。 一般位置直线(AB) 投影面平行线(CD) 水平线 正平线 侧平线 投影面垂直线(EF) 铅垂线 正垂线 侧垂线 直线对三个投影面的相对位置可以分为三类： A B D C E F 只平行某一投影面而同时倾斜另两个投影面的直线。 一、投影面平行线 2、水平线的投影特性 3、侧平线的投影特性 小结：平行线的投影特性 垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线。 二、投影面垂直线 1、铅垂线的投影特性 2、正垂线的投影特性 3、侧垂线的投影特性 直线在与其所垂直的投影面上的投影积聚成一点（积聚性）。 直线在其他两个投影面上的投影分别垂直(或平面)于相应的投影轴，且反映该线段的实长。 小结：垂直线的投影特性 三面投影都倾斜于投影轴。 投影长度均比实长短。 不能反映直线与投影面倾角的真实大小。 三、一般位置直线 直线与点的相对位置有两种情况： 点属于直线（点C）(重点讨论) 点不属于直线（点D） 定比性：点分割线段之比等于点的投影分线段的投影之比 A C：C B = a c：c b = a?c?:c?b?= a?c?:c?b? 从属性：直线上的一点，其投影在直线的同面投影上，且符合点的投影规律 例1：已知线段AB的投影，试在AB上取一点K，使AK:KB＝2:3，求作点K的投影。 分析： 先利用定比性将直线的任一投影分成2:3，得到点K的一个投影。 再利用从属性，求出点K的另一投影。 作图： 过a任意作一直线，并在该直线上量取5个相同的单位长度 连5分点和b，过2分点作5b的平行线交ab于k 过k作投影连线，交a?b?于点k? 例2 已知线段AB、点K的投影，试判断点K是否在直线AB上。 空间两直线 共面 异面 平行两直线 相交两直线 交叉两直线 垂直直线 对于一般位置直线，只要两直线的任意两对同名投影相互平行，就能肯定这两条直线在空间是相互平行的。 对于投影面平行线的两直线，只根据两同名投影还不一定能直接判断它们是否平行。 例2：判断两直线AB、CD是否平行。 分析：由于AB、CD都是侧平线，要判断其是否平行，必须通过作图来判断。有两种方法： 方法1：补画出两直线的侧面投影。作图结果是a?b?与c?d?不平行，所以AB与CD不平行。 方