[工学]数值计算方法与算法.pptVIP

数值计算方法与算法 第0章 绪论 误差 范数 例题 1 计算矩阵 的范数 计算矩阵 的谱半径 第1章 插值 多项式插值 Lagrange插值 Newton插值 第1章 插值 差商 插值函数误差 Runge现象 第1章 插值 三次样条函数 M关系式 m关系式 第1章 插值 例题 2 给定 f (-1) = 3, f (2) = 5, f (3) = 7, f (4) = 5，作出差商表，写出Newton插值公式。 例题 3 给定数据 f (0), f (1), f (3), f (3), 作出插值多项式，并写出插值余项。 第2章 数值微分和数值积分 数值微分 第2章 数值微分和数值积分 数值积分 第2章 数值微分和数值积分 复化数值积分 Romberg积分 例题 4 构造积分 的数值积分公式 I ( f ) = a0 f (-h) + a1 f (0) + a2 f (2h)。 例题 5 用Romberg公式计算积分： 第3章 曲线拟合的最小二乘法 最小二乘原理 设 A 为 m×n 列满秩实矩阵，b为列向量，则 　　使函数 　取最小值。 多项式拟合 例题 6 给定数据 用最小二乘法求形如 y = a ebx 的经验公式。 第4章 非线性方程求根 对分法求实根 原理：若 f(a) f(b) 0 则 f 在 [a, b] 中至少有一零点。 收敛步数：O(log(1/ε)) 迭代法 原理：若 | f (x) | ≤ L 1，则 xk+1 = f(xk) 收敛。 收敛步数：O(log(1/ε)) 第4章 非线性方程求根 Newton迭代法 原理：f(x) ≈ f(xk) + f (xk) (x - xk) 公式：xk+1 = xk － f(xk)／f (xk) 收敛步数：O(log log(1/ε)) 弦截法 原理：f(x) ≈ f(xk) + (x-xk) ( f(xk) - f(xk-1))／(xk - xk-1) 收敛步数：O(log log(1/ε)) 第4章 非线性方程求根 方程组的Newton迭代法 原理：F(X) ≈ F(Xk) + J(Xk) (X－Xk) 公式：Xk+1 = Xk － J(Xk)-1F(Xk) 收敛步数：O(log log(1/ε)) 同时逼近一元多项式的所有根 Weierstrass-Durand-Kerner方法： 例题 7 用Newton迭代法求解非线性方程组 取 (x0, y0) = (0.8, 0.6)，误差控制量10-3。 第5章 解线性方程组的直接法 Gauss 消元法 原理：通过初等行变换，化方程组 A x = b 为上三角。 由此得到 Dolittle 分解和 Courant 分解 A = L U。 条件：A的顺序主子式非零。 运算量：O(n3) 第5章 解线性方程组的直接法 列主元消元法 原理：在Gauss消元过程中，先选取一列中模最大元素， 将其换行至左上角位置，再作消元。由此得到分解 A = P L U，P为置换方阵，L中各元素的模都≤1。 条件：A 行列式非零。 运算量：O(n3) 第5章 解线性方程组的直接法 全主元消元法 原理：在Gauss消元过程中，先选取所有元素模最大者， 将其换行至左上角位置，再作消元。由此得到分解 A = P L U Q，P和Q为置换方阵，L中各元素的模都 ≤1， U中各元素的模都≤同行对角元素的模。 条件：A 行列式非零。 运算量：O(n3) 第5章 解线性方程组的直接法 Dolittle 分解： A = L U，L为单位下三角方阵。 Crout 分解： A = L U，U为单位上三角方阵。 对称阵的 L D LT 分解： L为单位下三角方阵， D为对角方阵。 追赶法： 将Gauss消元法应用于三对角方阵。 第5章 解线性方程组的直接法 Givens 旋转消元法 原理：通过Givens旋转，化方程组 A x = b 为上三角。由 此得到分解 A = Q R，Q为正交阵，R为上三角阵。 运算量：O(n3) 例题 8 库朗分解矩阵 例题 9 用追赶法求解三对角方程组 第6章 解线性方程组的迭代法 Jacobi 迭代 原理：设 D 为 A 的对角方阵。若 ρ( I－A D-1) 1，则 A x(k+1)－ b = (I－A D-1) (A x(k)－ b) 趋于0， x(k+1) = x(k)－ D-1(A x(k)－ b) 趋于 A-1b。 运算量：O( n2 log (1/ε) ) 充分条件：A 列 (行) 对角优 第6章 解线性方程组的迭代法 Gau