[工学]chapter5DifferenceSolutiontotheQuestionsofPlane.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 这就是最小势能原理。它表示在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移对应于总势能为极小值。 第五节 位移变分方程 最小势能原理： 数学表示如图(a)，物理意义如图(b) u u（实际位移） (a) (b) 第五节 位移变分方程 （5）位移变分方程的又一形式 ─式(l) 中 可化为 第五节 位移变分方程 应用分部积分公式 和格林公式 （其中s为平面域A的边界，l，m为边界外法线的方向余弦），可将 进行转换。 第五节 位移变分方程 ∵在 上，虚位移 ，∴ 对 其余几项进行同样的转换，并代入式( ) ,可得又一形式的位移变分方程： 例如，对第一项计算， (s) 第五节 位移变分方程 因 ， 都是任意的独立的变分，为了满足上式, 必须 （在A中）(v) （在 上）(w) 第五节 位移变分方程 由此可见，从位移变分方程可以导出平衡微分方程和应力边界条件，或者说，位移变分方程等价于平衡微分方程和应力边界条件。 第五节 位移变分方程 ⑴ 实际平衡状态的位移必须满足 a. 上的约束(位移)边界条件； b. 上的应力边界条件； c.域A中的平衡微分方程。 5.结论 ⑵ 位移变分方程可以等价地代替静力条 件b,c。 第五节 位移变分方程 ⑶ 由此得出一种变分解法，即预先使位 移函数满足 上的位移边界条件，再 满足位移变分方程，必然也可以找出 对应于实际平衡状态的位移解答。 第五节 位移变分方程 1.微分和变分各是由什么原因引起的？ 2.试导出式(u)。 3.试比较4.中变分方程 (1)-(5)的不同的 物理解释。 4.试证明二阶变分 。 思考题 第五节 位移变分方程 第六节 位移变分法 位移变分法是取位移为基本未知函数的。 位移函数应预先满足 上的位移边界条件，然后再满足位移变分方程。 第六节 位移变分法 (a) （1）因位移函数是未知的，在变分法中采用设定位移试函数的方法，令 1.瑞利-里茨法 第六节 位移变分法 其中 和 均为设定的x，y的函数，并在边界 上，令 （在 上） （在 上） (c) (b) 第六节 位移变分法 ∴ u，v已满足了 上的位移边界条件 而 ， 用来反映位移状态的变化， 故位移的变分为 (d) 第六节 位移变分法 位移的变分通过 ， 的变分来反映，故形变势能的变分为 （2）位移(a)还必须满足位移变分方程 第六节 位移变分法 将式(d)，( f )代入(e)得 因虚位移（位移变分）中的 ， 是完全任意的、独立的，为了满足上式，必须: 第六节 位移变分法 式(g)是瑞利-里茨变分方程。它是关于 ， 的线性代数方程组，由上式可解出 ， ,从 而得到位移的解答。 第六节 位移变分法 2.伽辽金法 （1）设定位移试函数如式(a)所示，但令 u,v 不仅满足 上的位移边界条件， 而且也满足 上的应力边界条件 （用u,v表示）。 第六节 位移变分法 将位移的变分 ， （式(d )）代入，同样由于 ， 为完全任意的和独立的变分，得到 （2）于是，由§5-5中式(u)可见，由于 上的应力边界条件已满足，设定的位移只需满足下列变分方程 第六节 位移变分法 将上式括号内的应力用位移来表示，得伽辽金变分方程: 第六节 位移变分法 式( j )也是关于 ， 的线性代数方程 组，从上式解出 ， ，便得到位移的 解答。 第六节 位移变分法 试从位移函数的设定，应满足的变分方程和求解的计算工作量等方面对瑞利-里茨法和伽辽金法进行比较。 思考题 第七节 位移变分法的例题 例1 图示矩形板a×b，在上边及右边受有均布压力 及 ，而左边和下边受有法向连杆的约束。 第七节 位移变分法的例题 应用瑞利-里茨法 ，设定位移