[工学]17-02平面简谐波的波函数.pptVIP

* 第17章 机械波 17.2 平面简谐波的波动方程 * 17.2 平面简谐波的波动方程 简谐波是最简单、最基本的波。各种复杂的波都可以看作是许多不同频率的简谐波的叠加。 一、平面简谐波的波函数 简谐波：波源作简谐运动时，在介质中所形成的波。 平面简谐波：波面为平面的简谐波。 　　本节主要讨论在无吸收（即不吸收所传播的振动能量）、各向同性、均匀的、无限大媒质中传播的平面简谐波。 沿波的传播方向，各质元的振动依次落后 。 　　后开始振动的质元比先开始振动的质元，在步调上要落后一段时间，即有相位的落后。 P点比o点时间落后： P点比o点位相落后： ( u 是波速 ) 沿波的传播方向，各质元的振动依次落后 。 各质点相对平衡位置的位移 波线上各质点平衡位置 　　描述波线上任一质点在任一时刻的位移的函数称为波的波函数或波动方程。 求出：波线上任一质点（坐标为 x），在任一时刻 ( t 时刻)，相对其平衡位置的位移（坐标为 y）。 已知波线上某点的振动方程，求：波动方程。 以速度u 沿 x 轴正向传播的平面简谐波。 t 时刻点 P 的运动 　　设O为波线上的一点，取为原点，其振动方程为： 时间推迟方法 点O 的振动状态经过 的时间传到点 P 时刻点O 的运动 P 处质点在 t 时刻的位移为： 因为P点是任意的，所以： 即为沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程。 P 处质点在 t 时刻的位移，与O处质点在 时刻的位移相等。 点 P 比点 O 落后的相位 点 P 振动方程： 点 O 振动方程： 波函数 相位落后法 P * O 波动方程的其它形式 角波数。 沿 X 轴正向传播的平面简谐波动方程。 角波数也称为波矢。 质点的振动速度，加速度为： 表示在 2π长度内所具有的完整波的数目。 1）若波沿 x 轴负向传播， 已知O点振动表达式， p 点运动传到 O 点需用时间： P 处质点在 t 时刻的位移应等于： O处质点在 时刻的位移 这就是沿 x 轴负向传播的平面简谐波波动方程。 讨论： P * O 则波动方程为： 2）若已知的位于 x 0 处质元的振动方程， 并且波向右传播， P * O * 波速是波源的振动在介质中的传播速度，也可以说是振动状态或振动相位在介质中的传播速度。它仅仅取决于传播介质的性质。它可以由下式求得： 振动速度才是介质中质元的运动速度。它可以由介质质元相对自己平衡位置的位移对时间求一阶导数而求得。由： 可以求得波线上 x 处的质元在 t 时刻的运动速度。 注意： 波速和振动速度是两个不同的概念。 。它不是介质质元的运动速度。 二 波函数的物理意义 1 当 x 固定时， 波函数表示该点的简谐运动方程，并给出该点与点 O 振动的相位差。 距原点 x0 处质点振动的初相 （波具有时间的周期性） 沿波的传播方向，各质元的位相依次落后。 两者的相位差为: 原点 o 处质点振动的初相为 ? x0 处质点的振动相位比原点处质点的振动相位始终落后 。 波线上各点的简谐运动图 （波具有空间的周期性） 2 当 一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位置的位移，即此刻的波形。 波程差 O O 3 若 均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）。 时刻 时刻 1）根据给定条件，写出某个已知点的振动方程； 2）建立坐标，选定坐标原点。在坐标轴上任取一点，求出该点相对于已知点的振动落后或超前的时间 ?t。 关于波动方程的题型主要有两种： （1）已知波函数求各物理量； （2）已知各物理量求波函数。 波动方程的求解步骤 3）根据波的传播方向，从已知点的振动方程中 t 减去或加上 ?t，即可得到波动方程。 解：设原点处质点的振动方程为： O 1）波动方程； 例： 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振幅 ， ， 。在 时坐标原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 。求： 2）求 波形方程； 3） 处