[2018年必威体育精装版整理]3-5-函数的极值与最值.pptVIP

中值定理与导数的应用 第五节 一、函数最值和极值的定义 二、函数极值的求法 三、最值的求法 例5. 设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上 , 受力 作 第五节 * 二、最大值与最小值问题 一、函数的极值及其求法 函数的极值与 最大值最小值 第三章 求出某些量的最大值和最小值应该是很有意义的.如工厂生产多少产品才能使利润最大，产品怎样设计才能使用料最省等。 所以极大值就是局部的最大值。 最值与极值的区别： 最值是整体概念 而极值是局部概念. 最值与极值的联系： 最值的候选点 端点 内点（极值点） 所以要求函数在一个区间上的最值，可先求函数在什么点取得极值。 为极大值点, 为极小值点 不是极值点. 定理1(可导函数极值存在的必要条件) 由上图可看出，如果函数在极值点处有切线，则切线是水平的。 所以函数的极值点如果可导必定是它的驻点. 证明: 函数与其极限的局部同号性 例. 极值的候选点 驻点（可导的点） 导数不存在的点 但反之不真，驻点不一定是极值点。 问题：如何判断候选点是否真的是极值点？ 定理2(取得极值的充分条件) 所以如果一个连续点左右两侧的导数异号，则此点必是极值点。 （不是极值点） （极值点） 求极值的步骤: 例1 解: 列表讨论 极大值 极小值 图形如下 解: 极大值 极小值 图形如下 证(1): 用二阶导数判断极值点 函数与其极限的局部同号性 前例 解: 驻点 导数不存在的点 最值的候选点 端点 内点（极值点） 所以如果已知函数的最值存在，可以直接比较在端点、驻点和导数不存在的点的函数值。 而闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。 求最值的步骤: (3) 如果已知最值存在，可以直接比较在端点、 驻点和导数不存在的点的函数值来求最值。 另外，还可以根据在整个定义域上函数的一（二）阶导数的符号来判断。 例1 解: 计算 比较得 20 解: 则 总运费 故 AD =15km 时运费最省 . 一定有最值 20 解: 开区间 法1: 法2: 法3: 点击图片任意处播放\暂停 例4 解: 如图, 然后可选择上题三种解法之一判断最值，如 用开始移动, 解: 克服摩擦的水平分力 正压力 即 令 则问题转化为求 的最大值问题 . ? 为多少时才可使力 设摩擦系数 问力 与水平面夹角 的大小最小? 令 解得 而 因而 F 取最小值 . 令 则问题转化为求 的最大值问题 . * *